幾何

2023/1/3

幾何・座標・ベクトル【解法の選択】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目はベクトルの問題ですが、様々な解法が考えられます。 そのままベクトルで捌くのもいいですし、少し凝った解法で捌いてもよいでしょう。 正攻法に攻めても問題なく捌けるという点は試験場ではありがたいですね。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 路線1:ベクトル 見た目通りベクトルの問題として捌いていくことを考えてみます。 まず、3点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \ ...

2022/12/15

仮想難関大(オリジナル予想問題)【幾何~垂心~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...

2022/12/6

辺の長さが等差数列をなす三角形【2019年度 東京医科歯科大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 訊かれていること自体はそこまで複雑なものではありませんが、頭に血が昇りやすい問題です。 何のプランもなく気の向くままに解き進めていくと、中々うまくいかない歯がゆさを感じると思います。 手元にある条件と、辿り着くべき目的をしっかりと認識し、その間をどのように埋めていくかということを一個ずつ丁寧に詰めていく力が必要です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 手元にある条件 辺の長さ \(a\) ,  \(b\) ,  \( ...

2022/10/22

2乗和と1乗和の解法選択【1993年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 単位円上の4点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) ,  \(\mathrm{P}\) について \({\mathrm{PA}}^{2}+{\mathrm{PB}}^{2}+{\mathrm{PC}}^{2}\) \({\mathrm{PA}}+{\mathrm{PB}}+{\mathrm{PC}}\) という2乗和、1乗和について扱う問題です。 2乗和、1乗和によって取りたく ...

2022/11/3

3垂線の足による三角形の傍心【1999年度 和歌山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 鋭角三角形 \(\mathrm{ABC}\) の各頂点から対辺に下ろした垂線の足によってできる三角形の傍心が頂点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\)  となっているという、分かりやすく面白い主張です。 三角形の五心 重心 外心 内心 垂心 傍心 のうち、傍心は影が薄い存在かもしれませんが、この問題を解いた後だと 傍心、意外とやるじゃん と思えるかもしれません。 この問題の三角形 ...

2022/5/17

放物線の3接線による三角形の外接円【シムソンの定理の応用】【1962年度 東京農工大】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の任意の3接線による三角形の外接円が、必ずその放物線の焦点を通るという美しい性質の証明です。 そそる見た目をしていますが、うまく頭を切り替えないと泥沼に嵌まりそうです。 (1) の設問が絶妙なヒントになっていますが、これをヒントと捉えられるかが問題です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 放物線の焦点からの垂足曲線を考える問題です。 \(y^{2}=4px\) の両辺を \(x\) で微分する ...

2022/5/13

直角三角形の外側に作る二等辺三角形による正三角形【1986年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\circ}\) の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 (以下ネタバレ注意)   ...

2022/5/1

正十二面体についての位置ベクトル【2011年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正十二面体に関する位置ベクトルについての問題です。 必然的に正五角形に関する扱いが求められます。 空間ベクトルの問題においては、正四面体などの簡単な立体は扱ったこともあるでしょうが、正十二面体となるとキッチリと地力の差が出るでしょう。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 正五角形に含まれる黄金三角形の黄金分割によって、正五角形の対角線の長さを求めていきます。 これらの用語が初耳だという方は テーマ別演 ...

2022/4/7

空間版メネラウスの定理【2015年度 埼玉大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) メネラウスの定理の空間版ともいえる内容の証明を考える問題です。 一応、ベクトルでゴリ押しすることもできますが、そちらについては【復習用問題】の【総括】で扱うことにします。 ここでは平面版のメネラウスの定理の拡張を前面に出した幾何的な路線をメインの路線として考えてみます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 平面版のメネラウスの定理の主張 というように、 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\) を、直線 ...

2022/3/1

2022年度 京都大学 理系第4問【四面体の各種考察】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 四面体に関する各種考察問題です。 京大は過去、対称性を意識したような四面体に関する論証を割とよく出題していました。 本問はパッと見ただけでは対称性というのは見えませんが、よくよく観察してみると結構対称性が隠れています。 ただ、本問の場合、機械的にベクトルでゴリゴリ進めていって何の問題もありません。 試験場においても、下手に時間を失うリスクを考えれば確実にベクトルで処理した方がよいと思います。 ベクトルで処理していって処理量が爆発するようだと考 ...

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