問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
巡回性をもったキレイな設定で、最後の面積を与える式もキレイな形をしています。
パッと見て思わず解いてみたくなる問題です。
結果よりも、本問を通じてベクトルの式変形の勘所や、内積の取り扱い方の勘所を得てほしいと思います。
（以下ネタバレ注意）
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(1) は \(a=0\) または \(b=0\) または \(c=0\) のときを考えます。
始点が揃ってないので、始点を揃えて考えると、直角三角形であることが見えてきます。
基本的に内積というのは角度に影響をもっている値です。
(2) も \(a=b\) または \(b=c\) または \(c=a\) という条件から二等辺三角形という予想は立ちますが、内積が等しいからと言って角度が等しいということはできません。
方針としては
- 条件から何が言えるのか
- 二等辺三角形だと何が言えるのか
この両者を考えることで、条件と予想をリンクさせていきます。
(3)については証明問題という形式ではありますが、実質的には
三角形 \(ABC\) の面積を \(a\) , \(b\) , \(c\) を用いて表せ。
ということが聞かれていると思いましょう。
そうなると、当然
ベクトルの面積公式
\(\triangle ABC=\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{ AB }|^{2}|\overrightarrow{ AC }|^{2}-(\overrightarrow{ AB }\cdot\overrightarrow{ AC })^{2}}\)
を考えることになります。
そこで
- \(|\overrightarrow{ AB }|^{2}\) , \(|\overrightarrow{ AC }|^{2}\) を変形して \(a\) , \(b\) , \(c\) を登場させる
- \(a\) , \(b\) , \(c\) を変形させて \(|\overrightarrow{ AB }|^{2}\) , \(|\overrightarrow{ AC }|^{2}\) を登場させる
のいずれかを考えることになるでしょう。
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