幾何・ベクトル系

難易度について

A:試験場においては確実に確保したいレベル(易)
B:典型問題、及び定石的解法の範疇で完答が狙える、もしくは要求される発想が基礎学力があれば無理のないレベル(やや易)
C:一部思考力や考察力を要するポイントを含むが、演習経験、あるいは適切な誘導によって完答を狙えるレベル(標準)
C+:Cレベルの問題であるが、計算が大変だったり、記述がしにくかったり、特定の分野で弱点があると完答できない、経験がないと思いつくのが困難な発想を要求される、など完答を阻む要素が多い問題(標準~やや難)
D:思考力や考察力を要するポイントを含み、機械的なパターン学習では太刀打ちできない問題で、多くの受験生にとって試験場での完答が難しいであろう問題(やや難~難)
E:受験生が制限時間内に完答するのは極めて困難なレベル(難)

 

2015年度 埼玉大学 2019年度 香川大学

難易度:C
空間版メネラウスの定理【2015年度 埼玉大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) メネラウスの定理の空間版ともいえる内容の証明を考える問題です。 一応、ベクトルでゴリ押しすることもできますが、そちらについては【復習用問 ...

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1999年度 和歌山大学

難易度:C
3垂線の足による三角形の傍心【1999年度 和歌山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 鋭角三角形 \(\mathrm{ABC}\) の各頂点から対辺に下ろした垂線の足によってできる三角形の傍心が頂点 \(\mathrm{A ...

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2011年度 熊本大学

難易度:C
トレミーの定理【様々な証明】【2011年度 熊本大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) トレミーの定理の証明を問題形式で考えてみます。 本問の (2) の内容がトレミーの定理です。 トレミーの定理は「裏技」的な位置づけで紹介 ...

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1962年度 東京農工大学

難易度:C+
放物線の3接線による三角形の外接円【シムソンの定理の応用】【1962年度 東京農工大】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線の任意の3接線による三角形の外接円が、必ずその放物線の焦点を通るという美しい性質の証明です。 そそる見た目をしていますが、うまく頭 ...

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2012年度 広島大学

難易度:C
三角形の内角の評価【2012年度 広島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな3辺の長さをもつ三角形の内角がどの程度の大きさなのかを見積もる問題です。 具体的な値が出てこないことに対する恐怖感を拭えない受 ...

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1994年度 名古屋大学 1982年度 愛知教育大学 1966年度 京都大学

難易度:C+
三角形と長方形の面積に関する論証【1994年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 内包関 ...

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2007年度 名古屋大学

難易度:C
反転変換【軌跡の有名問題】【2007年度 名古屋大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     表向きは座標の標準問題、あるいは軌跡の問題の標準問題に見えますが、円の反転変換を題材にした問題で、入試におい ...

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1986年度 福井大学

難易度:C
直角三角形の外側に作る二等辺三角形による正三角形【1986年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\ci ...

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1981年度 大分医科大学

難易度:C+
極と極線【調和点列に関する話題】【1981年度 大分医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 極、極線という有名な構図があります。 その構図に関する有名事実をネタにした問題です。 工夫なしで立ち向かうとなると厳しい計算に襲われるか ...

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1997年度 信州大学

難易度:C+
ベクトルの三角不等式【1997年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ベクトルの三角不等式を題材とした問題です。 (1) ,  (2) までは基本的な内容の確認ですが、最後の (3) は難しいと思います。 ...

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1985年度 東北大学

難易度:C
内積と面積【巡回性をもった形】【ベクトルの式変形の勘所】【1985年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   巡回性をもったキレイな設定で、最後の面積を与える式もキレイな形をしています。 パッと見て思わず解いてみたくなる問題です。 ...

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1987年度 東京水産大学

難易度:C
内積についての論証問題【必要性と十分性の論証】【1987年度 東京水産大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   内積は値(スカラー)だという認識が弱い数学が苦手な受験生は \(\vec p\) の形を見て心を閉ざしてしまいます。 一方 ...

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2001年度 大阪市立大学

難易度:C
円周上の3点による直角三角形【ベクトルの論証】【2001年度 大阪市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円周上の3点によって直角三角形ができるための必要十分条件を考える論証問題です。 幾何的に言えば \(\triangle{\mathrm{ ...

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2016年度 東京海洋大学

難易度:C
3辺の巡回ベクトル【隠れた条件と1次独立性】【2016年度 東京海洋大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   巡回性をもった設定であり、「そそる」香りが漂ってくる問題です。 アッサリと終わってしまう人もいれば、右往左往する人も出てく ...

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2016年度 滋賀医科大学

難易度:C
重心・垂心・外心・内心の位置ベクトル【2016年度 滋賀医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) これ1題で 重心・垂心・外心・内心の位置ベクトル の導出について学べるめちゃくちゃコスパの良い問題です。 三角形の代表的な点の位置ベクト ...

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1997年度 九州大学 1984年度 東京電機大学

難易度:C
面積比のとり得る値【1997年度 九州大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 決して派手な問題ではありませんが、ベクトルに関する基本的な扱いを要求し、最後は面積比の最小問題がオチという実戦的な演習問題です。 角度を ...

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1999年度 山梨大学

難易度:B
オイラー線【外心と重心と垂心の位置関係】【1999年度 山梨大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) オイラー線と呼ばれる有名な話題について扱います。 1993年度札幌医科大、2006年度岩手大、2018年度上智大など、出題校をあげていく ...

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2001年度 名古屋大学

難易度:C
外心に関する論証【誘導なしで方針を考える】【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 外心に関する論証問題です。 本問は名古屋大学の問題ですが、雰囲気は京大に近い感じですね。 昔の名古屋大学って結構切れ味が鋭い論証を要求し ...

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1989年度 新潟大学

難易度:C+
ベクトルと整数問題【正射影ベクトルの扱い】【1989年度 新潟大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   正射影ベクトルの扱いから入り、そこから整数問題チックなオチに着地するという気持ちの良い問題です。 ただし、(1) の正射影 ...

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2011年度 京都大学

難易度:C+
四面体の外接球の存在証明【三脚錐の活用】【2011年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   四面体の外接球の存在を証明させる問題です。 パッと見て思うこととしては 平面バージョン 平面上に三角形 \(ABC\) を ...

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1999年度 東北大学

難易度:C
正四面体の重心【共線条件と対称性の活用】【1999年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 四面体において、各頂点と対面の重心を結んだ線分は 1 点で交わります。 三角形において、各頂点と対辺の中点を結んだ線分が 1 点で交わり ...

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2012年度 北里大学 1987年度 奈良女子大学 2003年度 京都大学

難易度:B(京都大の問題はC+)
四面体に関する論証【2012年度 北里大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 四面 ...

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2014年度 早稲田大学

難易度:C(初見だとD~E)
等面四面体【体積計算と存在証明】【2014年度 早稲田大学】【1999年度 京都大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   4つの面が全て合同である四面体のことを「等面四面体」と言います。 この等面四面体については初見でぶつかると、ほとんどの人が ...

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2011年度 福井大学

難易度:C
正十二面体についての位置ベクトル【2011年度 福井大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正十二面体に関する位置ベクトルについての問題です。 必然的に正五角形に関する扱いが求められます。 空間ベクトルの問題においては、正四面体 ...

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2007年度 愛知教育大学 2012年度 鳥取大学 2009年度 早稲田大学

難易度:C(早稲田大の問題はC+)
折れ線の長さの最小値【2次元の問題と3次元の問題】【2007年度 愛知教育大学ほか】

平面の問題【問題1】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間の平面上を動く問題【問題2】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間の直線上を動く問題【問題 ...

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2000年度 東北大学 2013年度 東京大学

難易度:C+
フェルマー点【3頂点までの距離の和が最小となる点】【2000年度 東北大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) フェルマー点と呼ばれる有名テーマについての問題を考えます。 例題では、フ ...

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2012年度 広島大学 2013年度 同志社大学

難易度:C
cosθ,sinθを係数にもつ位置ベクトル【2012年度 広島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 何やらありそうな設定ですが、問題を解くだけであれば基本に忠実に解いていけば無理はありません。 まずは普通に解いてみて、本問の設定について ...

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2017年度 一橋大学

難易度:C
空間ベクトルと三角関数【座標における角度の扱い】【2017年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   平面座標における角度の扱いと言えば 座標平面上で角度を扱うときの方針 ベクトルの内積を用いて、cos の服を着せて角度を扱 ...

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2014年度 東京大学

難易度:C
四角柱の切断【天国と地獄】【2014年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 東大にしては珍しく図を付けてくれており、状況が読み取りやすくなっています。 ただ、解法の良しあしははっきりと分かれ、差が付くと思います。 ...

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2018年度 京都大悪

難易度:D
四面体の切断と体積【カバリエリの原理】【2018年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 京大が定期的に出題する四面体に関する論証問題です。 幾何・座標・ベクトルという3分野が考えられますが、本問は必要に合わせてどの分野のまな ...

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2009年度 岡山大学 2009年度 大阪市立大学

難易度:B
垂心と逆数【2009年度 岡山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(y=\displaystyle \frac{1}{x}\) というシンプルな直角双曲線上の3点によってできる三角形の垂心もこの \( ...

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2012年度 東京農工大学

難易度:B
グラムシュミットの直交化法【2012年度 東京農工大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) いかにも「何かありそう」な雰囲気を感じるでしょう。 グラム・シュミットの直交化法と呼ばれるものが背景にありますが、知らなくても解けるよう ...

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2019年度 名古屋大学

難易度:C
三角形の正射影【ベクトルと座標の解法選択】【2019年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   空間における三角形を平面に正射影した三角形について考える問題です。 段階的に誘導がついているため、完答するのにそこまで無茶 ...

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2020年度 東京慈恵会医科大学

難易度:C+
回転曲面の扱い【回転放物面について】【2020年度 東京慈恵会医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   回転放物面を扱った問題で、昔より出題は控えめになりましたが、一度は扱っておきたい話題です。 3頂点 \(A ,  B ,  ...

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2015年度 京都大学

難易度:C
円に外接する四角形の面積【図形量の最小】【2015年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 円に外接する四角形の面積の最小を考える問題です。 テーマとしては「図形量の最大最小」であり、今回は面積を何かしら数式化し、その関数の最小 ...

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2002年度 京都大学

難易度:C+
幾何・座標・ベクトル【別解の宝庫】【2002年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 難関大の問題では図形を扱う際、どの分野で解き進めるかという選択を迫られることが多いです。 その分野として多いのが 図形を扱う代表的分野 ...

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1986年度 一橋大学

難易度:C
分野の設定 変数の設定【1986年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 見た目ベクトルの問題です。 本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して ...

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2004年度 京都大学

難易度:C
二等分線上の点の位置ベクトル【長さと方向をどう準備するか】【2004年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 二等分線上の点の位置ベクトルをどのように扱うかという問題です。 結局は 長さと方向をいかに準備するか ということにエネルギーを注ぐことに ...

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1976年度 東京大学

難易度:C+
動点の存在範囲【直線のベクトル方程式の拡張】【1976年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問は当時の受験生が試験直後、 「これどうやって解くの?」 とざわついた問題だそうです。 確かに一見、掴みどころのない問題に見えますが、 ...

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1982年度 法政大学

難易度:C
正三角形を折ってできる六角形【1982年度 法政大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 図形を折るこの手の問題は想像力が必要で、中学受験を経験している中高一貫校の生徒は割とそういう訓練を積んでいる人が多いです。 それがいいか ...

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2001年度 東京工業大学

難易度:D
正方形を折ったときの重なりの五角形【2001年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 正方形の折り紙を折り曲げたときの重なりの部分が線対称な五角形になるときを考える幾何的な問題です。 このあたりの幾何的な考察はマニュアル的 ...

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2006年度 京都大学

難易度:C+
3頂点が動いたときの三角形の重心の存在範囲【2006年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな設定ではありますが、簡単ではありません。 分野の選択も含めて、どの道具を駆使して解き進めていくかの判断も求められます。 (以下 ...

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2009年度 大阪大学

難易度:C+
ベクトルとしての視点or幾何的な視点【分野の選択】【2009年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   図形の問題は「ベクトル」「幾何」「座標」など、様々な分野からのアプローチが考えられます。 難関大志望者は、問題に応じて「ど ...

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2003年度 神戸大学 2005年度 宮城教育大学 1998年度 名古屋大学

難易度:C
1の累乗根とド・モアブルの定理【2003年度神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 1の ...

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2001年度 名古屋大学 1999年度 京都大学

難易度:C+
複素数平面上の4点が同一円周上にある条件【2001年度 名古屋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面上の4点が同一円周上にあるための条件を考えるという問題で、この ...

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2016年度 東京大学ほか

難易度:C
1,z,z^2を3頂点にもつ鋭角三角形【2016年度 東京大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数平面において \(1\) , \(z\) , \(z^{2}\) あるいは \(z\) , \(z^{2}\) , \(z^{3} ...

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2000年度 京都大学

難易度:C+
点が三角形の内部に存在するための条件【ガウス・ルーカスの定理】【2000年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数は 数値として扱えつつ、ベクトルとして幾何的にも扱える という性質をもっているがゆえに、様々な解法が考えられる分野です。 多くの問 ...

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2018年度 東京大学

難易度:C+
複素数平面における対称移動【実部虚部を持ち出すか否か】【2018年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2018年度東京大学理類の第5問で、複素数平面に関する対称移動という話題からスタートし、そこから肉付けがしてあります。 今でも記憶にある ...

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2003年度 東京大学

難易度:C+
複素数平面における幾何的な考察【1次分数変換による実軸の像】【2003年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   複素数平面に関する幾何的な考察問題です。 こういった図形を扱う分野としては 図形を扱う分野 幾何的な分野(三角比や平面図形 ...

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1998年度 日本女子大学 2016年度 九州工業大学

難易度:C
点列の極限【雷紋問題】【1998年度 日本女子大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 進行方向に関する決まったアルゴリズムによって定まる点列を扱う問題で、この分野の定番問題の一つです。 イメージとしてラーメンの器にある の ...

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1993年度 大阪大学

難易度:C+
球の内部かつ正四面体の表面部分の総面積【題意の言いかえ】【1993年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   幾何についての考察力が問われる問題です。 点 \(A\) , \(B\) を定点としたとき、\(\angle APB \g ...

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2012年度 横浜国立大学

難易度:C+
三角比、三角関数の総合問題【幾何的な考察】【関数としての扱い】【2012年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   式の持つ意味と、図形的な意味をリンクさせる 式の形から次の一手を見出す など、(2)までは「その場力」が必要です。 (3) ...

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2019年度 東京大学

難易度:D
歪んだ八面体【空間把握するための工夫】【2019年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3次元空間における歪んだ八面体を、ある平面で切った切り口について考察する問題です。 東大はこういった空間把握力を試すような問題を好んで出 ...

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