整数系

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 素数が無限に存在することは紀元前から分かっていたことです。 ユークリッドの有名な数学書である原論での証明が有名で、歴史的内容を含む問題で ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 素数の階乗を用いた興味深い性質について見ていきます。 問題のオチは素数が無限に存在するということの証明で、この事実の証明自体は で扱って ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 以前、 の記事の中で、素数が存在しない区間（素数砂漠）について触れましたが、本問は素数が存在する区間について考える問題です。 本問も素数 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２つの正整数の最大公約数を求めるときに用いられる「ユークリッドの互除法」と呼ばれるアルゴリズムについて、原理と証明を考えてみます。 古典 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不定方程式を解く際に、特殊解を見出して一般解に繋げる定番の話題ですが、連分数展開から特殊解に迫るという問題です。 特殊解を見出す手法とし ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 全ての自然数 \(m\) ,  \(n\) に対して \(f(mn)=f(m)f(n)\) という性質（乗法性）を証明するというオチの問 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 自然数 \(n\) がもつ素因数 \(p\) の個数を \(a\) とし ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 格子点ならぬ「格子辺」という言葉を定義し、直線や曲線との交点の個数を考察させる問題です。 地道に手を動かしながら要領を掴んでいくタイプの ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 約数や倍数という整数問題の基本的な概念について扱う問題なのですが、決して簡単ではないでしょう。 整数問題らしく様々なものの見方に伴う別解 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 最大公約数と最小公倍数に関する不定方程式を解く問題です。 整数問題に対する基本的な手法を確認するとともに、最大公約数、最小公倍数に関する ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３文字の基本対称式に関する最大公約数について考える問題で、見た目のインパクトが大きい問題です。 ２文字の基本対称式についての 有名事実 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）     本問は不定方程式に関する基本的な確認から、少し対応力が必要な設問まであります。 整数問題の有力方針 積の形か ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   問題自体は不定方程式を解くという整数問題における典型的な話題です。 ただ、この問題の背景にある逸話が面白く、「ラマヌジャン ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「素数の整数乗になる」という日本語で訊かれていますが、 \(p\) を素数、\(n\) を整数として \(a^{3}+b^{3}=p^{ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   約数を拾うタイプの問題で、定番の問題に見える一方、解き進めていくと、本問がもつ個性に注目して解き進める必要性も出てくるため ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不定方程式（文字の数に対して式の数が少ない方程式）の中でも少々対応力が問われる問題です。 誘導の活用力も問われます。 試験場のつもりで取 ...

問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整数問題については 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 与えられた \(p\) という文字を使ってよい中で、条件を満たす整数 \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) ,  \(d\) ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   例題の最終的なオチは与えられた２次式が平方数になるような ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不定方程式ですが、絶対値と平方根が入っていて、このあたりの処理の手際の良さが差を生むでしょう。 現役生目線では標準～やや難だと思います。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   パッと見の見た目としては「例題チック」な印象を受けます。 ある程度の演習をこなして、色々な「凝った問題」に触れてきた人から ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） すごくシンプルな題意ですが、やり始めると目が血走るでしょう。 \(\displaystyle \frac{2013}{2014}=0.9 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 自然数の逆数からなる有理数を「単位分数」といい、異なる単位分数の和として表現した分数を「エジプト（式）分数」と言います。 本問は、 ２項 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 階乗に関する整数問題ということで、最後のオチの問題は考えてみたくなる香ばしさがあります。 誘導付きなので、誘導をうまく活用できるかという ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな設定でルールはとっかかりやすいのですが、いざやってみるとどこから手を付けたらよいのか途方に暮れる難問です。 実際にこの年の受験 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 三角形の長さに関する整数問題です。 図形ならではの隠れた条件などに目を光らせないと、手が止まってしまったり、手際が悪くなってしまったりし ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 格子点同士を結ぶ２つの線分のなす角について考察する問題です。 例題は実戦要素が強く、 ２直線のなす角の扱い 整数問題の捌き方 が問われて ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） マチンの公式とその周辺の等式について触れることができる問題を紹介します。 表向きは \(\tan{ \ }\) が絡む整数問題という顔を ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 累乗根に関する無理数性を考える問題です。 特に例題でもってきた京大の問題は 真偽判定まで含めて判断しなければならない というタイプの出題 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \([\sqrt{n}]\) が絡んだ整数問題であり、解答自体はアッサリと終わります。 自力で解ければ問題はありません。 解けなくて解答 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\sqrt{n}=*.0***\cdots\) というタイプの数になるような \(n\) について考えよという問題です。 \(\sq ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回設定されている \(a_{n}=\displaystyle \frac {{}_{2n}\mathrm{C}_n}{n+1}\)  ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ２次方程式が整数解をもつように仕組んでください、という問題は整数問題として頻出です。 本問は整数問題の基本手法 整数問題の ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(x\) ,  \(y\)  という 2 文字使っていますが、結局は \(x^{2}+ax+b=0\)  と  \(x^{2}+bx+ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 古い問題ですが、３次方程式が整数解をもつという設定はよくある設定であり、今でも十分に演習価値のある問題です。 本問は手なりに進めていくと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次方程式が整数解をもつための条件を考える問題です。 試験場補正も踏まえると、差が付くレベルだと思います。 （以下ネタバレ注意） + ク ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整数 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ニュートンの補間法と呼ばれるものが背景にある問題を扱います。 問題を解くこと自体はできるかもしれませんが、どこからそんな発想が出てきたの ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 本問にまつわる話としては、オイラーの見つけた \(f(x)=x^{2}+x+41\) という式が有名です。 \(f(0)=41\) \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 多項式に関する問題で、受験生に解かせてみると四苦八苦する生徒が多い一方で、あっさりと解く生徒もいます。 体感の難易度の温度差は大きい問題 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 典型的な問題ではなく、その場での観察力や、式での翻訳力、見通しをもって解き進める力などの総合的な力が問われます。 （以下ネタバレ注意） ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ピタゴラス数に関する問題で、印象に残るインパクトをもった問題です。 強力な誘導がありますから、思考力や発想力というよりは、問題の主張を把 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） とてもシンプルな題意ですが、見かけとは裏腹にとっかかりが見えにくい難問です。 「逆ならいえるのに」という類の問題で論証色が強いため、傷が ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） レピュニット数と呼ばれる、\(1\) が並んだ自然数についての問題です。 通知表では見たくない数です。 本問は \(\overbrace ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 本問のように、\(n\) を \(0\) 以上の整数として、\(a_{n}=2^{2^{n}}+1\) という形で与えられる数を フェル ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   最高次の係数が 1 であるような整数係数 \(n\) 次方程式を \(n\) 次のモニック多項式と呼びます。 入試において ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(a\) , \(b\) , \(c\) を整数として \(ax+by=c\) という形の不定方程式（ディオファントス方程式）の整数解 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   フェルマーの小定理 \(p\) を素数 , \(a\) を任意の自然数とするとき \(a^{p} \equiv a\)  ...

問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 下二桁の数についてスポットを当てた問題を東大、京大から２題セレクトし ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 与えられた数が全て素数となるかどうかについて考える問題で、初見だと差が付く問題でしょう。 解答だけ聞いてしまうと、あっさりと終わってしま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな整数問題で、教訓を多く含む問題です。 場当たり的に解き進めても、腕力がある人はねじ伏せることができるでしょうが、できれば戦略的 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(3\) の累乗数と \(2\) の累乗数で連続するものを考えるという問題です。 \(3^{1}\) と \(2^{1}\) というの ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   \(a \ , \ b \ , \ c\)  自体も素数、\(a-b-8 \ , \ b-c-8\)  も素数、と素数祭り ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   連続する自然数の和で表せるかどうかを考える問題で、しばしば出題される話題です。 その中でもテーマになりやすい内容を一通り盛 ...

例題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(2^{n}-1\) という形の数をメルセンヌ数といい、特に素数となるメルセンヌ数をメルセンヌ素数と言います。 メルセンヌ素数は数学 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(a^{n}-1\) という形を含む整数問題を扱います。 今回は\(2^{n}-1\) というタイプを例題に持ってきました。 \(2^ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   まずは整数問題の有力方針を確認します。   整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する（ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   問題の主張が高級です。 シンプルな主張ですが、難問の匂いが漂ってきます。 数学が好きな人は気を付けてください。 試験場だと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「カルキン・ウィルフ・ツリー」と呼ばれる有理数の生成に関する不思議な樹形図の問題です。 この年の大阪大学のセットの中で最難問とも名高い問 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   問題のインパクトが強いためか、結構有名な問題です。 桁数については、難関大志望者であれば落としたくはないレベルです。 問題 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 桁数、下一桁の値、最高位の値、といった定番の話題ではなく、 こういう問題はどう？ というメッセージ性が強い問題に感じたのは私だけでしょう ...