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定積分の不等式評価と、区分求積法からのはさみうちの原理による極限の導出を考える問題です。
オープニングとしては中々けたたましいファンファーレに感じた受験生も多いでしょう。
\(B_{n}\) を具体的に計算できないこと、及び (1) の不等式評価を誘導と見れば
(1) の不等式評価を用いてはさみうちの原理で仕留める
というオチを睨むことは難しくありません。
ただ、肝心かなめの (1) の評価が簡単ではなく、第１問という位置取り的にも平常心を乱され右往左往しかねません。
(1) の結果を認めた上で (2) だけでも確保することは可能なので、試験場では (2) を確保し、場合によっては別の問題に避難するぐらいの冷静な判断が必要だったかもしれません。