年別アーカイブ：2023年

2023年度名古屋大学理系　各解説記事 １５０分 ４題 記述式 と形式に変更はありません。 分野的トピックス 第１問：複素数と方程式、複素数平面（Ⅲ） 第２問：図形と方程式、微分法・積分法、極限（Ⅲ） 第３問：微分法（Ⅲ） 第４問：式と証明、数列 ３題が数Ⅲの内容を含む出題となりました。 また、頻出分野である場合の数・確率からの出題がなく、これは2002年以来のことです。 各大問について 第１問（標準） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上の円周上の点が表す複素数を ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 第１種スターリング数を扱った問題ですが、多くの受験生にとって初見だと思います。 一般に、数列 \(\{a_{n}\}\) に対して \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\) を数列 \(\{a_{n}\}\) の母関数と言います。 例えば、 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 方程式の実数解の個数について考えるという問題で、テーマとしては定番寄りの話題です。 微分法を用いてグラフの概形を捉え、方程式の解を視覚化することで共有点の個数を考えるという点で、方針面では迷う余地はありません。 ただ、与えられた方程式をどのような形で見るのが最善なのかという点で、アタフタする部分があるかもしれません。 与えられた方程式をどのように見ても、一応解けるには解けますが、最適な道を行こうと思うと、問題全体を俯瞰する必要が出てきます。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２円が相異なる２点で交わるとき、２円で囲まれる部分の \(x\) 軸回転体の体積について考える問題です。 文字を多く含み、計算量が多少あるものの少なくとも (2) ,  できれば (3) までは何とか辿り着きたいところです。 (4) は (3) で得た \(V(r)\) を \(r\) で微分し、\(V'(r)\) を計算して増減表を得ることができれば解決なので、方針面では迷う余地はありませんが、かなりエグイ計算に襲われます。 \(r=a-b ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 複素数平面上での円上の点が表す複素数を解にもつ４次方程式についての問題です。 図形的な意味合いと式的な意味合いを結びつける力も要求され、総合的な力が問われています。 (1) はなまじ形がキレイな結論であるため、逆にアタフタするかもしれませんが、冷静に沈めたいところです。 (2) は \(p\) ,  \(q\) ,  \(r\) ,  \(s\)  を解 \(\alpha\) ,  \(\beta\) の情報を含む \(t\) ,  \(u\ ...

2023年度大阪大学理系　各解説記事 １5０分 ５題 記述式 と、形式に変更はありません。 分野的トピックス 第１問：極限・積分法（Ⅲ） 第２問：平面ベクトル 第３問：微分法（Ⅲ） 第４問：空間ベクトル 第５問：確率・数列 数Ⅲの比重が大きい阪大ですが、今年は２題でした。 また、ベクトルの問題が２題あったのも特徴的でした。 各大問について 第１問（標準） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） メルカトル級数に関連する極限の問題です。 不等式証明からの極限計算ということで、最後は「 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロの目によってできる数 \(b_{n}\) が \(7\) で割り切れる確率を求める問題です。 実験的な設問もあり、今年のセットの中では比較的標準の難易度の問題であるため、できれば確保したいところです。 \(b_{n+1}=a_{1}b_{n}+a_{n+1}\) という関係式から、\(a_{1}b_{n}\) を \(7\) で割った余りに応じて、\(n+1\) 回目の目である \(a_{n+1}\) の目が 1 つ決まるということに ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(xz\) 平面上の点 \(\mathrm{A}\) と、\(xy\) 平面上の点 \(\mathrm{P}\) を結ぶ直線を原点を通るように垂直に切った平面 \(\alpha\) と、その切り口である点 \(\mathrm{Q}\) を考えます。 お絵描きが中々難しいですが、完ぺきに律儀な図を書かなくても、必要な情報さえ抽出できればよいでしょう。 (1) は式的に攻めるか、図から攻めるかという２路線が考えられますが、ある程度ラフな絵でも情 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 曲線外の点から接線が何本引けますかという定番のテーマであり、類題経験は阪大受験生であればあって然るべきでしょう。 なので、方針面で困ることがあってはなりません。 ただ、処理面で手が止まってしまう受験生は少なくないでしょう。 \((t \ , \ \cos{t})\) における接線の式を立て ,  それが \((a \ , \ b)\) を通るように仕組むことになります。 すると、 \(b=(t-a)\sin{t}+\cos{t}\) という等 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 目がチカチカして一見怯んでしまいそうですが、一皮むいてしまえば標準的な内容です。 試験場で解けなかった人からすると、あとから解答を見て なんでこれができなかったんだ と唇を噛むタイプの問題です。 指導者レベルの経験値をもった人であれば当たり前に感じてしまう工夫なのですが、受験生レベルだと（ましてや試験場だと）アタフタするかもしれません。 本問は文系第３問との共通問題でした。 文系の受験生だと一皮が分厚く感じるでしょうが、阪大理系受験生であれば ...