実践演習 極限・微分積分系

180°しか回転しない空間座標の回転体の体積【2009年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

通常の空間座標における回転体の体積自体、東大は好んで出題する傾向にありますが、本問は

180°しか回転しない回転体の体積

について扱います。

このような「こうなったらどうする?」という味付けは教育的で、いかにも東大らしい良問だと思います。

とは言え、難易度という点では少しハードかなとは思います。

初見の方はぜひ考えてみてください。

(以下ネタバレ注意)

 

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イメージ図について

のようなイメージで 180 ° 回転します。

このあとは、回転軸である \(y\) 軸に垂直に切った断面図を捉えます。

空間座標における回転体の体積を考える処方箋

空間座標における回転体の扱い方

  • 全体像を捨てろ
  • 切ってから回せ(先に回すな)
  • 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える

という考え方の中でも、

切ってから回す

という態度で考えます。

(1) について

\(y=k\) で切った切り口のうち、\(x \geq 0\) という範囲にある部分を考えると

という断面となります。

これについては半円の差を考えれば解決するようなものです。

(2) について

今度は 180°しか回転しないということが、もろに牙をむきます。

断面は

の打点部分です。

これを直接出すのは億劫です。

さらに、求められているものが\(V(a)\) そのものではなく、\(\displaystyle \lim_{a \to \infty} V(a)\) であることも後押ししますので、等式を諦め、不等式を繋ぐことで、最終的な目標である極限を「はさみうちの原理」で仕留めるという構想を立てていきます。

そこで

と長方形で囲んでしまって評価する路線を考えたいと思います。

ここまでが、実際に脳みそを使う部分で、この後は、実際のところ計算勝負ということになります。

その際、考え方によっては事故がおこるような答案が出ても不思議ではないような落とし穴があります。

それについては【総括】で触れておきました。

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