アステロイドの射影【ベクトル方程式の活用】【1999年度 お茶の水女子大学】

イメージ図

ひとまずは問題の図形 \(D\) ,  \(D'\) のイメージを掴みたいと思います。

図形 \(D\) の境界線が表す曲線を \(C\) ,  図形 \(D'\) の境界線が表す曲線を \(C'\) とします。

\(C\) は平面 \(z=1\) 上のアステロイドであり、\(C\) 上の 1 点 \(\mathrm{P}\) に光が当たったときを考えてみます。

すると

というようなイメージで \(\mathrm{Q}\) が対応します。

点 \(\mathrm{P}\) が \(C\) 上を動いたときの \(\mathrm{Q}\) の軌跡が \(C'\) ということに他なりません。

\(\mathrm{P}\)\((x \ , \ y \ , \ 1)\) ,  に対して、\(\mathrm{Q}\)\((X \ , \ Y \ , \ 0)\) が対応したとすると、目標とすべきことは \(X\) ,  \(Y\) の関係式を Get することです。

\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

と、\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) を伸ばして \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を得るという方向性を考えることになります。

この \(t\) は、点 \(\mathrm{Q}\) が平面 \(z=0\) 上に乗るような

うまい倍率 \(t\)

という意識が大切です。

$$\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AP}} \\
&=& (1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OP}}
\end{eqnarray}$$

ですから、\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を成分で表すと

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(
\begin{array}{c}
(x-a)t+a \\
(y-b)t+b\\
(1-h)t+h
\end{array}
\right)$$

ということになります。

\(z\) 成分が \(0\) となることから、

\((1-h)t+h=0\)

すなわち

\(t=\displaystyle \frac{h}{h-1}\)

と \(t\) が求まります。

これにより、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X=\displaystyle \frac{h}{h-1} \cos^{3}{\theta}-\displaystyle \frac{1}{h-1}a\\
Y=\displaystyle \frac{h}{h-1} \sin^{3}{\theta}-\displaystyle \frac{1}{h-1}b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と、\(\mathrm{Q}\)\((X \ , \ Y \ , \ 0)\) の軌跡が表す曲線 \(C'\) のパラメータ表示が得られました。

あとは曲線の長さを得る公式

\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(\displaystyle \frac{dX}{d\theta})^{2}+(\displaystyle \frac{dY}{d\theta})^{2}} d\theta\)

を用いて捌いていけばよいでしょう。

別路線

\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を得るにあたっては

• 点 \(\mathrm{Q}\) は線分 \(\mathrm{AP}\) を \(h \ : \ 1\) に外分する点

と捉えて

\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\displaystyle \frac{-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+h\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{h-1}\)

という外分点の公式から導出してもよいでしょう。

これは

\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\displaystyle \frac{h}{h-1}\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\displaystyle \frac{1}{h-1}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)

と見ると、

• 曲線 \(C'\) は、曲線 \(C\) を原点中心に \(\displaystyle \frac{h}{h-1}\)倍し、\(-\displaystyle \frac{1}{h-1}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) 方向に平行移動したもの

と捉えることができます。

平行移動は長さに影響を及ぼさない操作ですから、求める曲線の長さは

• 元のアステロイド \(C\) の長さの \(\displaystyle \frac{h}{h-1}\) 倍

ということになり、この路線から考えてもよいでしょう。

アステロイドならではの問題について

本問はアステロイド特有の性質が前面に出ている問題ではなく、本問の趣旨を問いにしたければ、別にアステロイドじゃなきゃいけない理由もありません。

アステロイド特有の性質について確認したければ

をご活用ください。

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