軌跡

2021/12/9

内積と軌跡【軌跡の範囲】【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問の料理名は 軌跡のベクトル風味仕立て~範囲のスパイスとともに~ でございます。 定番の味付けの中に、ピリッとアクセントの効いた味わいをお楽しみください。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について まずは前菜でございます。 点 \(\mathrm{A}\) \((a \ , \ a^{2})\) ,  \(\mathrm{B}\) \((b \ , \ b^{2})\) という設定により、 ...

2021/12/6

複素数の実数条件と軌跡【2004年度 岡山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 複素数の実数条件と、それを満たすような点 \(z\) の集合について考える問題です。 試験場で遭遇したと想定したら、確保したい標準的な難易度でしょう。 複素数平面の問題は様々な解法が考えられ、方針によって労力が変わってくることも珍しくありません。 方針というのは、ある意味「翻訳の仕方」と言ってもよいと思いますが、今回は複素数が実数であるということをどのように翻訳するかという部分を確認していきます。 (以下ネタバレ注意)   + クリ ...

2021/9/29

通過領域【式で追うか目で追うか】【2004年度 青山学院大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2つの動点が関わる軌跡や通過領域について捉える問題です。 難易度についてははっきりと差が付くと思います。 何が難しいの?と思う人もいるでしょうし、ドツボに嵌まって身動きが取れなくなる人もいると思います。 本問を選定した理由を述べます。 通過領域というのは本来、目で追っていくことが難しいから式に教えてもらおうという態度でいくことが多いです。 そのあたりのよくある通過領域については で、取り扱っています。 最初にいってしまうと、この問題は式だけで ...

2021/6/11

2直線の交点の軌跡【文字消去が困難なときの工夫】【2006年度 島根大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2直線の交点の軌跡というテーマ性のある話題です。 単元学習で軌跡を学習したばかりの状態でこのテーマに取り組むと、「あれ?」となる人が多いでしょう。 方針としては複数考えられますが、どのような方針が自然かということについて比較検討まで含めて考えていきます。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 思いつきやすい方針 軌跡の基本は \((X \ , \ Y)\) とおき、\(X\) ,  \(Y\) の関係式を ...

2021/4/24

立体射影に関する点の軌跡【リーマン球を題材とした問題】【1980年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   空間座標における点の軌跡の問題であり、リーマン球を題材に作成したと思われます。 もちろん、そんなパワーワードを知っているか知っていないかで差が付くようなことはないので、ご安心ください。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む まずは状況把握 ざっくりと絵を描いてみると といった感じでしょうか。 とりあえず絵的にイメージがつかめるだけでも安心感が出ます。 イメージとしては N を北極 ,  S を ...

2021/4/29

複素数平面における対称移動【実部虚部を持ち出すか否か】【2018年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2018年度東京大学理類の第5問で、複素数平面に関する対称移動という話題からスタートし、そこから肉付けがしてあります。 今でも記憶にあるのは、この年に参加した研究会の分析会議で「本問がこの年における最難問である」という意見が多数を占めていたということです。 確かに決して簡単ではないと思いますが、 通常東大受験生が学習しているであろう範囲内の学習で、十分対応可能である内容であるということ 突拍子もない発想を要求されるわけでもないこと 上手い解法 ...

2021/3/18

2021年度 東北大学理系第4問【3次関数と直線】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 流し読みして、問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。 直線の通過領域にしても差が付くテーマなのですが、線分の通過領域となると、範囲が制限されているので、さらに厄介になることが多いからです。 ただ、今回の問題については解き進めていくうちに、「目で追い切れる」ことが分かります。 (1) はオチの分かっている因数分解からの、解と係数の関係の利用 (2) は軌跡の基本 であり、確保したいところです。 (3) の通過領 ...

2021/3/5

2021年度 京都大学理系第5問【垂心の軌跡】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 京大にしては珍しく誘導があります。 (1) は幾何的に攻めたいですね。 2定点を見込む角度が一定ということで、円周角の定理をインスピレーションできるでしょうから、答えはすぐ出せると思いますが、条件 (*) についてどこまで自明のものとして扱ってよいのかという点で書きづらさを感じた人も多いのではないかなと思いました。 (2) は軌跡ですから、基本的には座標的に処理するのが普通でしょうか。基本に忠実に \((X \ , \ Y)\)  として \ ...

2021/4/21

直交2接線の交点の軌跡【楕円の準円】【2011年度 信州大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   楕円の準円と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、出典を挙げていくとキリがありません。 具体的な数値の場合も含めると多くの大学で出題されている問題ですが、今回は一般論でもってきました。 具体的な数字でも計算は割と大変なのですが、今回のように一般的に文字で処理するとなると、強靭な計算力と集中力が必要です。 難関大を目指すにあたっては一度は経験しておきたい話題です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読 ...

2021/4/21

反転変換【軌跡の有名問題】【2007年度 名古屋大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     表向きは座標の標準問題、あるいは軌跡の問題の標準問題に見えますが、円の反転変換を題材にした問題で、入試においては高い頻度で登場する話題です。 古典的な内容であるため、考え方や流れにおいて、それなりにクセがあります。 特にオチである点 \(Q\) の軌跡については、一歩間違えると「どないすんねん」と身動きがとれなくなってしまいかねません。 逆に勉強してきた人からすれば「いただきます」と美味しく完答できるでしょう。 以 ...

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