πが無理数であることの証明【定積分の利用】【2003年度 大阪大学】

(1) について

$f_{n}(x)=1+\displaystyle \frac{x}{1!}+\displaystyle \frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\displaystyle \frac{x^{n}}{n!}$  とおいたとき

$f'_{n+1}(x)=1+\displaystyle \frac{x}{1!}+\displaystyle \frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\displaystyle \frac{x^{n}}{n!}=f_{n}(x)$

という $e^{x}$ のマクローリン展開を元にしたカラクリは手垢が付いたカラクリです。

今回は「数学的帰納法によって」という指示がありますが、この指示が余計なお世話に思えてほしいところです。

後半の内容については被積分関数が、積分区間 $0 \leq t \leq 1$ において、

$t^{n} (1-t)^{n} \sin{\pi t} \leq 1$

であることを利用して

$I_{k} \lt \displaystyle \frac{\pi^{k+1}}{k!}$

と上から押さえることができれば、前半で示した不等式の活用が見込めます。

(2) について

積分漸化式の作成の際の常套手段

部分積分からの積分漸化式の作成

という路線を外したくありませんし、この方針は明確に見えてほしい基本です。

ただし、やってみると分かると思いますが、相当計算が重たいです。

「置き換え」を駆使しながら少しでも目に優しくしましょう。

自分のためでなく、読む側である採点者のためにも。

(3) について

矛盾までの道筋まである程度見せてくれているので、前の設問も見返しながら、どう結び付くのかを考えていきます。

(2) で得た $I_{n}$ についての漸化式のおかげで、$A_{n}(=p^{n}I_{n})$ についての漸化式も得ることになり、$I_{n} \gt 0$ ということも併せると $A_{n}$ が帰納的に正の整数であることが見えてきます。

(1) がどう効いてくるかという視点で、(1) の活用を考えてみると

$A_{0}+A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n} \lt \pi e^{\pi}$

であることが分かります。

正の整数を加え続けていって、有限確定値未満ということがおかしなことだと気が付けばハッピーエンドです。

総合的に

レールを敷いてくれているという点で、発想力というよりは

という力が問われます。

特に計算についてはかなり重たいです。

ただ、この重たい計算の果てに、「$\pi$ が無理数であるということが証明できる」という結果が待っていたことを考えると、やった甲斐があったと感じるのではないでしょうか。

歴史的には

ネイピア数 $e$ が無理数であることを最初に証明した人物は、かの有名な「オイラー」です。

それに対し、円周率 $\pi$ が無理数であることを最初に証明した人物は「ランベルト」と言われています。

ネイピア数 $e$ が無理数であることの証明については

で扱っています。

解答はコチラ