実践演習

1の累乗根とド・モアブルの定理【2003年度神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

1の累乗根とド・モアブルの定理の運用に関する問題は、入試においてよく登場する話題で、深入りしだすとキリがありません。

基本を押さえつつ、少しずつオチのつけ方で味わいが違う3題をもってきました。

このあたりの年代(2005年度入試まで)は複素数平面が数学Bに入っていた時代であり、センター試験でも出題され、文系の方もバリバリ扱っていた時代の問題です。

古き良き名作も多い年代だと思います。

(以下ネタバレ注意)

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例題について

例題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

ド・モアブルの定理

\(n\) を整数としたとき

\((\cos{\theta}+i\sin{\theta})^{n}=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\)

が成り立つ。

が今回の話題の基本的な武器であり、今回で言えば

\(\alpha^{7}=\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1\)

を基に、与えられた式に迫っていきます。

(1) について

\(x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)\)

という因数分解が肝となります。

難関大受験生としては常識にしておきたい因数分解です。

あるいは与式を

等比数列の和

と見てもよいでしょう。

(2) について

\(\alpha^{7}=1\) に注目し、\(\alpha^{7}\) を登場させたいと思えば

\(\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{6}}=\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha-\alpha^{7}}=\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha-1}\)

と見たくなると思います。

そうなると、与式は

\(\displaystyle \frac{1}{1-\alpha}+\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha-1}\)

となり、解決します。

(3) について

(2) があるため、与式を

\((\displaystyle \frac{1}{1-\alpha}+\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{6}})+(\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{2}}+\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{5}})+(\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{3}}+\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{4}})\)

というペアで見たくなると思います。(次数が足して7のペア)

(2) と同じ要領でそれぞれのペアの和を計算していけばよいでしょう。

(4) について

足腰がしっかりしていれば、

ココがポイント

頭でっかちは嫌われる(仮分数は帯分数へ)

という基本的態度で臨みたくなります。

与式の各項は分子の方が次数の高い「仮分数」なので、商と余りを出して帯分数化します。

\(k=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ 6\) として

\(\displaystyle \frac{\alpha^{2k}}{1-\alpha^{k}}=-(\alpha^{k}+1)+\displaystyle \frac{1}{1-\alpha^{k}}\)

と帯分数化して、\(\sum_{ \ }^{ \ }\) すれば前問の結果が色々使えます。

類題1について

類題1はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

三角関数の積がオチとなっています。

ド・モアブルの定理を経由してこの手のオチに帰着する問題もよくあります。

類題2について

類題2はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今度は三角関数の \(\sum_{ \ }^{ \ }\) がオチとなっています。

このシナリオを含むような問題が今年 (2021年度) の京大でノーヒントで出題されています。

参考2021年度 京都大学理系第3問【三角関数についての無限級数】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   かわいい顔をしていますが、割と棘のある問題だと思います。 無限級数の問題では、 無限級数の鉄則 部分和をとって、その極限を ...

続きを見る

この手の話題は色々な話題とも手を繋いでいます。

いずれじっくりと追記していく予定です。

追記

類題2の関連について

参考ラグランジュの三角恒等式【ド・モアブルの定理の応用】【1971年度 富山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角関数の和の導出について考える問題です。 少し古い問題ですが、今回の話題を扱うにあたりよい例題ということでもってきました。 (以下ネタ ...

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も適宜活用してみてください。

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