整数系

難易度について

A:試験場においては確実に確保したいレベル(易)
B:典型問題、及び定石的解法の範疇で完答が狙える、もしくは要求される発想が基礎学力があれば無理のないレベル(やや易)
C:一部思考力や考察力を要するポイントを含むが、演習経験、あるいは適切な誘導によって完答を狙えるレベル(標準)
C+:Cレベルの問題であるが、計算が大変だったり、記述がしにくかったり、特定の分野で弱点があると完答できない、経験がないと思いつくのが困難な発想を要求される、など完答を阻む要素が多い問題(標準~やや難)
D:思考力や考察力を要するポイントを含み、機械的なパターン学習では太刀打ちできない問題で、多くの受験生にとって試験場での完答が難しいであろう問題(やや難~難)
E:受験生が制限時間内に完答するのは極めて困難なレベル(難)

 

1973年度 大阪歯科大学 2009年度 千葉大学

難易度:C+
素数が無限に存在することの証明【1973年度 大阪歯科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 素数が無限に存在することは紀元前から分かっていたことです。 ユークリッドの有名な数学書である原論での証明が有名で、歴史的内容を含む問題で ...

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2001年度 成城大学

難易度:C
素数の階乗【ウィルソンの定理】【素数砂漠】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 素数の階乗を用いた興味深い性質について見ていきます。 問題のオチは素数が無限に存在するということの証明で、この事実の証明自体は で扱って ...

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1997年度 京都教育大学

難易度:B
素数が存在する区間【ベルトラン・チェビシェフの定理】【1997年度 京都教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 以前、 の記事の中で、素数が存在しない区間(素数砂漠)について触れましたが、本問は素数が存在する区間について考える問題です。 本問も素数 ...

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2005年度 広島県立大学

難易度:C(初見だとC+)
ユークリッドの互除法【原理の証明とイメージ】【2005年度 広島市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 2つの正整数の最大公約数を求めるときに用いられる「ユークリッドの互除法」と呼ばれるアルゴリズムについて、原理と証明を考えてみます。 古典 ...

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1993年度 早稲田大学 2011年度 東京大学

難易度:C(類題はC+)
連分数展開とユークリッドの互除法【1993年度 早稲田大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不定方程式を解く際に、特殊解を見出して一般解に繋げる定番の話題ですが、連分数展開から特殊解に迫るという問題です。 特殊解を見出す手法とし ...

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1987年度 津田塾大学

難易度:B
整値関数の乗法性【先導的特殊】【1987年度 津田塾大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 全ての自然数 \(m\) ,  \(n\) に対して \(f(mn)=f(m)f(n)\) という性質(乗法性)を証明するというオチの問 ...

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2007年度 横浜国立大学 2001年度 岐阜大学

難易度:C(類題はB)
オーダー【素因数の個数】【2007年度 横浜国立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 自然数 \(n\) がもつ素因数 \(p\) の個数を \(a\) とし ...

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1998年度 大阪大学

難易度:C
格子辺【隣接する格子点を結ぶ線分】【1998年度 大阪大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 格子点ならぬ「格子辺」という言葉を定義し、直線や曲線との交点の個数を考察させる問題です。 地道に手を動かしながら要領を掴んでいくタイプの ...

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1992年度 一橋大学 2013年度 千葉大学

難易度:C
約数と倍数に関する整数問題【1992年度 一橋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 約数や倍数という整数問題の基本的な概念について扱う問題なのですが、決して簡単ではないでしょう。 整数問題らしく様々なものの見方に伴う別解 ...

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2022年度 東京工業大学

難易度:C+
3文字の基本対称式と最大公約数【2022年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3文字の基本対称式に関する最大公約数について考える問題で、見た目のインパクトが大きい問題です。 2文字の基本対称式についての 有名事実 ...

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2016年度 東京理科大学

難易度:C+
不定方程式【積の形から約数拾い】【2016年度 東京理科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     本問は不定方程式に関する基本的な確認から、少し対応力が必要な設問まであります。 整数問題の有力方針 積の形か ...

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2009年度 一橋大学

難易度:C
タクシー数【3次の不定方程式】【ラマヌジャンの逸話】【2009年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   問題自体は不定方程式を解くという整数問題における典型的な話題です。 ただ、この問題の背景にある逸話が面白く、「ラマヌジャン ...

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1984年度 東京工業大学

難易度:C+
3乗和と素数の累乗【1984年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「素数の整数乗になる」という日本語で訊かれていますが、 \(p\) を素数、\(n\) を整数として \(a^{3}+b^{3}=p^{ ...

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2005年度 東京大学

難易度:C
積の形からの約数拾い【素因数の振り分けの工夫】【2005年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   約数を拾うタイプの問題で、定番の問題に見える一方、解き進めていくと、本問がもつ個性に注目して解き進める必要性も出てくるため ...

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2019年度 同志社大学

難易度:C
素数に関する不定方程式【2019年度 同志社大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不定方程式(文字の数に対して式の数が少ない方程式)の中でも少々対応力が問われる問題です。 誘導の活用力も問われます。 試験場のつもりで取 ...

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2012年度 東京理科大学 1994年度 同志社大学

難易度:C
不定方程式【和と積が等しい整数の組】【2012年度 東京理科大学ほか】

問題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整数問題については 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余 ...

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2007年度 京都大学

難易度:C+
不定方程式の難良問【2007年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 与えられた \(p\) という文字を使ってよい中で、条件を満たす整数 \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) ,  \(d\) ...

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2017年度 北海道大学 2001年度 一橋大学

難易度:B(類題はC)
不定方程式【誤差を埋める】【2017年度 北海道大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   例題の最終的なオチは与えられた2次式が平方数になるような ...

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2011年度 和歌山県立科大学

難易度:C+
整数問題の観察眼【2011年度 和歌山県立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不定方程式ですが、絶対値と平方根が入っていて、このあたりの処理の手際の良さが差を生むでしょう。 現役生目線では標準~やや難だと思います。 ...

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2007年度 大分大学

難易度:C
整数問題【評価の工夫】【行き詰まったときのリカバリー】【2007年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   パッと見の見た目としては「例題チック」な印象を受けます。 ある程度の演習をこなして、色々な「凝った問題」に触れてきた人から ...

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2014年度 横浜市立大学

難易度:C+
有理数で挟まれた有理数の分母【ファレイ数列との絡み】【2014年度 横浜市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) すごくシンプルな題意ですが、やり始めると目が血走るでしょう。 \(\displaystyle \frac{2013}{2014}=0.9 ...

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2006年度 富山大学 2021年度 広島大学

難易度:C(関連参考問題は難易度C+)
単位分数の和【エジプト式分数】【2006年度 富山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 自然数の逆数からなる有理数を「単位分数」といい、異なる単位分数の和として表現した分数を「エジプト(式)分数」と言います。 本問は、 2項 ...

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2015年度 鳥取大学

難易度:C
階乗に関する整数問題【2015年度 鳥取大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 階乗に関する整数問題ということで、最後のオチの問題は考えてみたくなる香ばしさがあります。 誘導付きなので、誘導をうまく活用できるかという ...

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1990年度 早稲田大学

難易度:D
3整数に関する不定方程式【難問】【1990年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな設定でルールはとっかかりやすいのですが、いざやってみるとどこから手を付けたらよいのか途方に暮れる難問です。 実際にこの年の受験 ...

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1990年度 京都大学

難易度:C
三角形と整数問題【1990年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 三角形の長さに関する整数問題です。 図形ならではの隠れた条件などに目を光らせないと、手が止まってしまったり、手際が悪くなってしまったりし ...

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2004年度 一橋大学 1999年度 大阪大学 (追加類題あり)

難易度:C(追加類題はC+)
格子点同士を結ぶ2線分のなす角度【2004年度 一橋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 格子点同士を結ぶ2つの線分のなす角について考察する問題です。 例題は実戦要素が強く、 2直線のなす角の扱い 整数問題の捌き方 が問われて ...

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1987年度 埼玉大学 2006年度 首都大学東京(東京都立大学)

難易度:C
マチンの公式とその周辺の等式【1987年度 埼玉大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) マチンの公式とその周辺の等式について触れることができる問題を紹介します。 表向きは \(\tan{ \ }\) が絡む整数問題という顔を ...

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2007年度 京都大学 2018年度 佐賀大学

難易度:C
累乗根の無理数性【真偽判定の判断】【2007年度 京都大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 累乗根に関する無理数性を考える問題です。 特に例題でもってきた京大の問題は 真偽判定まで含めて判断しなければならない というタイプの出題 ...

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2012年度 東京工業大学

難易度:C
[√n]についての考察問題【発想の素はどこにあるか】【2012年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \([\sqrt{n}]\) が絡んだ整数問題であり、解答自体はアッサリと終わります。 自力で解ければ問題はありません。 解けなくて解答 ...

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2019年度 名古屋大学

難易度:C
√nの小数部分の評価【小数首位について】【2019年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(\sqrt{n}=*.0***\cdots\) というタイプの数になるような \(n\) について考えよという問題です。 \(\sq ...

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2021年度 東京工業大学

難易度:C+
カタラン数が素数となるための条件【2021年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回設定されている \(a_{n}=\displaystyle \frac {{}_{2n}\mathrm{C}_n}{n+1}\)  ...

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2003年度 千葉大学

難易度:C
2次方程式の整数解【整数問題の3大手法】【2003年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   2次方程式が整数解をもつように仕組んでください、という問題は整数問題として頻出です。 本問は整数問題の基本手法 整数問題の ...

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2011年度 名古屋大学

難易度:D
係数を入れ替えても整数解をもつ2次方程式【2011年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(x\) ,  \(y\)  という 2 文字使っていますが、結局は \(x^{2}+ax+b=0\)  と  \(x^{2}+bx+ ...

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2011年度 横浜国立大学

難易度:C
3次方程式と整数解【誘導の活用】【2011年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3次方程式が整数解をもつための条件を考える問題です。 試験場補正も踏まえると、差が付くレベルだと思います。 (以下ネタバレ注意) + ク ...

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2013年度 中央大学 1997年度 名古屋大学 2005年度 京都教育大学

難易度:C+
整数値多項式【整数を代入したら整数が返ってくる多項式】【2013年度 中央大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整数 ...

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2002年度 慶応義塾大学

難易度:C+
素数生成多項式【2002年度 慶応義塾大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問にまつわる話としては、オイラーの見つけた \(f(x)=x^{2}+x+41\) という式が有名です。 \(f(0)=41\) \( ...

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1992年度 東京大学

難易度:C+
多項式に関する整数問題と論証【1992年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 多項式に関する問題で、受験生に解かせてみると四苦八苦する生徒が多い一方で、あっさりと解く生徒もいます。 体感の難易度の温度差は大きい問題 ...

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2004年度 岡山大学

難易度:C+
2種類の数列を並べ替えてできる数列【2004年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 典型的な問題ではなく、その場での観察力や、式での翻訳力、見通しをもって解き進める力などの総合的な力が問われます。 (以下ネタバレ注意) ...

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2011年度 三重大学

難易度:C
ピタゴラス数とペル方程式【2011年度 三重大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) ピタゴラス数に関する問題で、印象に残るインパクトをもった問題です。 強力な誘導がありますから、思考力や発想力というよりは、問題の主張を把 ...

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2008年度 東京大学

難易度:C
レピュニット数【1が並んだ自然数】【2008年度 東京大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) レピュニット数と呼ばれる、\(1\) が並んだ自然数についての問題です。 通知表では見たくない数です。 本問は \(\overbrace ...

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2006年度 岐阜大学

難易度:C
フェルマー数【各種性質】【2006年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問のように、\(n\) を \(0\) 以上の整数として、\(a_{n}=2^{2^{n}}+1\) という形で与えられる数を フェル ...

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2019年度 東京学芸大学 2010年度 早稲田大学 2002 京都大学

難易度:C
モニック方程式【最高次が1である高次方程式】【2019年度 東京学芸大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   最高次の係数が 1 であるような整数係数 \(n\) 次方程式を \(n\) 次のモニック多項式と呼びます。 入試において ...

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2000年度 大阪大学 2008年度 奈良県立医科大学

難易度:C+
不定方程式の整数解とその発展【ベズーの補題】【2000年度 大阪大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(a\) , \(b\) , \(c\) を整数として \(ax+by=c\) という形の不定方程式(ディオファントス方程式)の整数解 ...

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2011年度 関西大学

難易度:B
フェルマーの小定理【2項定理からのアプローチ】【2011年度 関西大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   フェルマーの小定理 \(p\) を素数 , \(a\) を任意の自然数とするとき \(a^{p} \equiv a\)  ...

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2007年度 東京大学 1999年度 京都大学

難易度:C
下二桁の扱い【4乗数に関わる下二桁】【完全剰余系】【2007年度 東京大学ほか】

問題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 下二桁の数についてスポットを当てた問題を東大、京大から2題セレクトし ...

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2013年度 大阪大学

難易度:C
与えられた数がすべて素数となるか【どんな合成数が紛れ込むか】【2013年度 大阪大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 与えられた数が全て素数となるかどうかについて考える問題で、初見だと差が付く問題でしょう。 解答だけ聞いてしまうと、あっさりと終わってしま ...

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1999年度 お茶の水女子大学

難易度:C
自然数の累乗の余り【累乗の余りの周期性】【1999年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな整数問題で、教訓を多く含む問題です。 場当たり的に解き進めても、腕力がある人はねじ伏せることができるでしょうが、できれば戦略的 ...

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2018年度 東北大学

難易度:C+
連続する累乗数【ミハイレスクの定理】【2018年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(3\) の累乗数と \(2\) の累乗数で連続するものを考えるという問題です。 \(3^{1}\) と \(2^{1}\) というの ...

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2014年度 一橋大学

難易度:C+
素数の扱いと観察力【隠れた条件や事実をいかに見出すか】【2014年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   \(a \ , \ b \ , \ c\)  自体も素数、\(a-b-8 \ , \ b-c-8\)  も素数、と素数祭り ...

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2015年度 横浜国立大学

難易度:C+
連続する自然数の和【連続自然数の和で表せるための条件】【2015年度 横浜国立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   連続する自然数の和で表せるかどうかを考える問題で、しばしば出題される話題です。 その中でもテーマになりやすい内容を一通り盛 ...

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1962年度 京都府立医科大学ほか

難易度:B
メルセンヌ素数【基本的な性質と完全数との関連】【1962年度 京都府立医科大学ほか】

例題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(2^{n}-1\) という形の数をメルセンヌ数といい、特に素数となるメルセンヌ数をメルセンヌ素数と言います。 メルセンヌ素数は数学 ...

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2015年度 九州大学

難易度:C
a^n-1についての整数問題【難しくアレンジした場合の考察もあり】【2015年度 九州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(a^{n}-1\) という形を含む整数問題を扱います。 今回は\(2^{n}-1\) というタイプを例題に持ってきました。 \(2^ ...

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2010年度 千葉大学

難易度:C+
指数型の不定方程式【整数問題の基本的手法の運用】【2010年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   まずは整数問題の有力方針を確認します。   整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する( ...

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1977年度 名古屋大学

難易度:D
素数の各桁の数を係数にもつ2次方程式【素数という条件の活かし方】【1977年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   問題の主張が高級です。 シンプルな主張ですが、難問の匂いが漂ってきます。 数学が好きな人は気を付けてください。 試験場だと ...

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1989年度 東京大学

難易度:C+
桁数と1の位【仮分数の扱いについて】【1989年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   問題のインパクトが強いためか、結構有名な問題です。 桁数については、難関大志望者であれば落としたくはないレベルです。 問題 ...

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2014年度 岐阜大学

難易度:C+
上三桁の値【高次計算の工夫】【合同式の扱い】【2014年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 桁数、下一桁の値、最高位の値、といった定番の話題ではなく、 こういう問題はどう? というメッセージ性が強い問題に感じたのは私だけでしょう ...

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