テーマ別演習 数値評価 極限・微分積分系

数値評価 第3講【e^πの評価】【1999年度 東京大学】

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「数値評価」シリーズの第3弾です。

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数値評価 第1講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第1回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

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数値評価 第2講【ネイピア数eの評価】【2010年度 横浜市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「数値評価」シリーズの第2弾です。 このシリーズの一覧はこちら   前回の第1弾は円周率 \(\pi\) の評価でした。 今回はネイピア数 \(e\) の評価です。 案の定ヒントめいた不等式が誘導としてついています。 前回と違い、今回はちょっとだけオチで一工夫が必要です。 (2) の不等式に \(a=1\) をそのまま代入してもうまくいきません。 今回の問題を通じて教訓として学んでほしいことは 評価に失敗したときのリカ ...

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数値評価 第3講【e^πの評価】【1999年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「数値評価」シリーズの第3弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^{\pi}\) の評価です。 前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。 まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。 次数を下げるために半角公式でほぐした後は   ポイント 【  \(\displaystyle \int_ ...

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数値評価 第4講【e^eの評価】【1992年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     「数値評価」シリーズの第4弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^e\)  の評価です。 ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。 与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では $$e^2 \lt e^e \lt e^3$$ とやるのが普通でしょうか。 これを計算しても、 $$7.387524 \lt e^e \lt 20.0792902 ...

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数値評価 第5講【log2の評価】【2007年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「数値評価」シリーズの第5弾です。 このシリーズの一覧はこちら 今回は \(\log{2}\) という自然対数の評価です。 (1) という誘導設問がありますが、単純に使うと失敗します。 恐らくほとんどの人が最初失敗して、そこからリカバリーしきれるかどうかという勝負になるでしょう。 不等式の精度を高めるために(誤差を小さくするために)どのようにすべきか、という部分に脳みそをつかっていきたいところです。 (以下ネタバレ注意)   + ク ...

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今回は \(e^{\pi}\) の評価です。

前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。

まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。

次数を下げるために半角公式でほぐした後は

 

ポイント

【  \(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } e^{\theta}\sin \theta d\theta\) ,  \(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } e^{\theta}\cos \theta d\theta\)  の処理  】

「部分積分からの同形出現」

または

「\((e^{\theta}\sin \theta)' , (e^{\theta}\cos \theta)'\) の辺々操作」

によって処理するのが常套手段です。

具体的に定積分を計算して、題意をほぐしていくと結局は \(e^{\pi} \gt 21\)  を示せばよいことが分かります。

最初からこう聞けばよいのにと思うかもしれませんね。

まぁ普通こういった不等式が絡む定積分は計算不可能なことが多いのですが、東大の貴重な6題の中の1枠です。

定積分の計算能力も見たかったのでしょう。

 

さて、ここからが頭を使う部分です。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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具体的な数に対して我々ができることはほとんどありません。

そこで、\(f(x)=e^x\)  という関数を導入し、\(\pi\) に最も近い整数 3 における接線を考えていきます。

この発想に至るためには

接線の式は1次近似である

という認識が必要であり、そのように勉強している必要があります。

また、本問は \(e^{\pi} \gt 21\)  を示せばよいのですが、 \(e^{\pi} \gt 22\) であることまで示す別方針もあります。

それを思いつく材料の1つに、前回の「数値評価2」で勉強した内容が含まれます。

もう一度ここで書くと

「誤差を小さくする(不等式の精度を高める)ためにはどのようにすればよいか」

を意識することです。

ぜひ考えてみてください。

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