テーマ別演習 数値評価 極限・微分積分系

数値評価 第1講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

 

「数値評価」というテーマを扱います。

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数値評価 第1講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第1回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

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数値評価 第2講【ネイピア数eの評価】【2010年度 横浜市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「数値評価」シリーズの第2弾です。 このシリーズの一覧はこちら   前回の第1弾は円周率 \(\pi\) の評価でした。 今回はネイピア数 \(e\) の評価です。 案の定ヒントめいた不等式が誘導としてついています。 前回と違い、今回はちょっとだけオチで一工夫が必要です。 (2) の不等式に \(a=1\) をそのまま代入してもうまくいきません。 今回の問題を通じて教訓として学んでほしいことは 評価に失敗したときのリカ ...

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数値評価 第3講【e^πの評価】【1999年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「数値評価」シリーズの第3弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^{\pi}\) の評価です。 前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。 まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。 次数を下げるために半角公式でほぐした後は   ポイント 【  \(\displaystyle \int_ ...

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数値評価 第4講【e^eの評価】【1992年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     「数値評価」シリーズの第4弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^e\)  の評価です。 ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。 与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では $$e^2 \lt e^e \lt e^3$$ とやるのが普通でしょうか。 これを計算しても、 $$7.387524 \lt e^e \lt 20.0792902 ...

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数値評価 第5講【log2の評価】【2007年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「数値評価」シリーズの第5弾です。 このシリーズの一覧はこちら 今回は \(\log{2}\) という自然対数の評価です。 (1) という誘導設問がありますが、単純に使うと失敗します。 恐らくほとんどの人が最初失敗して、そこからリカバリーしきれるかどうかという勝負になるでしょう。 不等式の精度を高めるために(誤差を小さくするために)どのようにすべきか、という部分に脳みそをつかっていきたいところです。 (以下ネタバレ注意)   + ク ...

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今回は円周率 \(\pi\) の評価です。

第1回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。

(1)は展開して定積分を計算するだけです。

(2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac{\pi}{2})\)  と置換する定番のタイプです。

(3)も仮分数を帯分数に直すというセオリーに従えば、困ることはありません。

ココがポイント

(2):\(\displaystyle \int_{ p }^{ q } \displaystyle \frac{1}{x^2+a^2} dx\) の形では  \(x=a\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac{\pi}{2})\) と置換する。

(3):仮分数(頭でっかち)は嫌われる

このあたりの基本事項はきちんと確認しておきましょう。

(4)ですが、定積分の評価の定番は「中身比べ」です。

一般に、区間 \(a \leq x \leq b\) で常に  \(f(x) \leq g(x)\)  が成立するとき、

$$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \leq \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) dx$$

ということが言えます。

そこで、中身を比較して後から辺々 \(0\) から \(1\) まで積分すればいいですね。

最後のオチである \(\pi\) の評価については、(4)で示した不等式に(1)、(3)の結果を代入するだけで、特にひと手間かかることもありません。

今回は単純な代入で済みましたが、難関大においては誘導の不等式への単純な代入ではうまくいかず、

「何かひと手間」

が必要になることが多いです。

そのあたりは「数値評価2」以降で詳しくみていきます。

 

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