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以後呼びやすさのため、区間 \([0 \ , \ \displaystyle \frac{1}{2})\) を左側区間、\((\displaystyle\frac{1}{2} \ , \ 1)\) を右側区間と呼びます。
\(2^{n-1}\alpha\) ですが、これは初項 \(\alpha\) , 公比 \(2\) の等比数列の一般項です。
どんどん２をかけていく際に、小数部分が左側区間と右側区間を交互に飛び交うイメージですね。
とりあえず、題意を満たすような一例やモデルケースを手探りでもいいから探したいということで、まずは実験してみて様子を掴んでいきます。
（以下ネタバレ注意）
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\(b_{1}=\alpha\) ですから、条件を考えると \(\alpha\) は左側区間にいます。
つまり、
$$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{1}{2} \ \cdots \ ①$$
ということになります。
これに２をかけると、\(0 \lt 2\alpha \lt 1\) を得ますから、\(b_{2}=2\alpha\) です。
今度はこれが右側区間に入っていることになりますから、\(\displaystyle \frac{1}{2} \lt 2\alpha \lt 1\)
すなわち
$$\displaystyle \frac{1}{4} \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{1}{2} \cdots \ ②$$
①、②より
$$\displaystyle \frac{1}{4} \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{1}{2}$$
を得ることになります。
実験するなら簡単な数字の方がいいですから、とりあえず \(\alpha=\displaystyle \frac{1}{3}\) で実験してみます。
どんどん \(2\) をかけていくと
\(\displaystyle \frac{1}{3} \ , \ \ \ \displaystyle \frac{2}{3} \ \ , \ \ 1+\displaystyle \frac{1}{3} \ , \ \ \ 2+\displaystyle \frac{2}{3} \ \ \cdots\)
これは題意を満たすように小数部分が、左側区間と右側区間を飛び交っています。
これについては帰納法などで示せるでしょうが、問題は
「これ以外に題意を満たすような \(\alpha\) が存在するかどうか」
をどうやって調べるかです。
ここから先はぜひ解答を見る前に考えてほしいところです。
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