実践演習 極限・微分積分系

オイラーの無限積 ヴィエトの公式【2005年度 名古屋大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

オイラーの無限積やヴィエトの公式などを背景とした問題を集中的に扱って、一度この話題を整理したいと思います。

問題を解けるようにするということはもちろんですが、一つの事実に対して様々なアプローチがあり、それを糧とするような学習をしていただければと思います。

 

丁寧な誘導がありますから、何をすればよいのか皆目見当もつかない、といったことにはならないとは思います。

難関大学を目指すにあたっては一度は経験しておきたい話題であり、カラクリです。

初見の状態で本問を解くと気持ちいいと思いますので、ぜひ新鮮な気持ちで取り組んでもらえたらと思います。

(以下ネタバレ注意)

 

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オイラーの無限積

$$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty  \cos{\displaystyle \frac{x}{2^{n}}}=\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos{\displaystyle \frac{x}{4}} \cdots=\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}$$

【証明】

\(\sin{x}\)

\(=2\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\sin{\displaystyle \frac{x}{2}}\)

\(=2\cos{\displaystyle \frac{x}{2}} \ 2\cos{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin{\displaystyle \frac{x}{4}}\)

\(=2\cos{\displaystyle \frac{x}{2}} \ 2\cos{\displaystyle \frac{x}{4}} \ 2\cos{\displaystyle \frac{x}{8}}\sin{\displaystyle \frac{x}{8}}\)

\( \  \  \ \  \  \  \   \  \  \ \ \vdots\)

\(=2^n\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos{\displaystyle \frac{x}{4}}\cos{\displaystyle \frac{x}{8}}\cdots\cos{\displaystyle \frac{x}{2^n}}\sin{\displaystyle \frac{x}{2^n}}\)

であり、これより

\(\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos{\displaystyle \frac{x}{4}}\cos{\displaystyle \frac{x}{8}}\cdots\cos{\displaystyle \frac{x}{2^n}}=\displaystyle \frac{\sin{x}}{2^{n}\sin{\displaystyle \frac{x}{2^n}}}=\displaystyle \frac{\sin{x}}{x} \cdot \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{2^n}}{\sin{\displaystyle \frac{x}{2^n}}} \longrightarrow\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}  (n\rightarrow \infty)\)

というのが背景にありますが、本問を解くだけであれば、誘導やヒントがありますから大きな問題はないと思います。

\(b_{n}=2^{n}a_{n}\sin{\displaystyle \frac{x}{2^{n}}}\) とおいて、\(b_{n+1}=b_{n}\) を目指すのが大人な解答ですが、慣れていないと2倍角の連鎖で次々と消えていくことをうまく紙面上で表現できないかもしれません。

(2) についても方針を明示してくれているのがありがたいですね。

解答はコチラ

 

 

本問のオチと別路線のアプローチでの出題もあったので、併せて載せておきます。

別路線の類題について

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

(ネタバレ注意)

 

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これについてはシグマ計算の手法の1つである

重要手法

差分を狙って和の中抜け

という基本手法を運用する問題です。

別路線の解答はコチラ

 

最後に、オイラーの無限積

$$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty  \cos{\displaystyle \frac{x}{2^{n}}}=\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos{\displaystyle \frac{x}{4}} \cdots=\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}$$

に \(x=\displaystyle \frac{\pi}{2}\)  を代入して得られる

ヴィエトの公式

\(\displaystyle \frac{2}{\pi}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots\)

に関する幾何的なアプローチについての問題も載せておきます。

ヴィエトの幾何的手法についての問題

 

 

 

ヴィエトはオイラーの無限積に \(x=\displaystyle \frac{\pi}{2}\)  を代入して、

\(\displaystyle \frac{2}{\pi}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots\)

を得たわけではありません。(オイラーの時代よりも100年近く昔の人物です。)

前の問題とはまた違ったアプローチで、勉強になると思います。

幾何的手法の解答はコチラ

より実践的な話題ですが、

こちらもCHECK

算術幾何平均【漸化式で定まる数列の極限】【2010年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\) ,  \(b ...

続きを見る

の記事でもこの話題を取り扱ってはいますので、そちらもご覧いただけると力になると思います。

お腹いっぱいという人は、まずは焦らずに一つずつ消化していってくださいね。

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