問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
オイラーの無限積やヴィエトの公式などを背景とした問題を集中的に扱って、一度この話題を整理したいと思います。
問題を解けるようにするということはもちろんですが、一つの事実に対して様々なアプローチがあり、それを糧とするような学習をしていただければと思います。
丁寧な誘導がありますから、何をすればよいのか皆目見当もつかない、といったことにはならないとは思います。
難関大学を目指すにあたっては一度は経験しておきたい話題であり、カラクリです。
初見の状態で本問を解くと気持ちいいと思いますので、ぜひ新鮮な気持ちで取り組んでもらえたらと思います。
（以下ネタバレ注意）
本問のオチと別路線のアプローチでの出題もあったので、併せて載せておきます。
別路線の類題について
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
（ネタバレ注意）
最後に、オイラーの無限積
$$\displaystyle \prod_{n=1}^\infty \cos{\displaystyle \frac{x}{2^{n}}}=\cos{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos{\displaystyle \frac{x}{4}} \cdots=\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}$$
に \(x=\displaystyle \frac{\pi}{2}\) を代入して得られる
ヴィエトの公式
\(\displaystyle \frac{2}{\pi}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots\)
に関する幾何的なアプローチについての問題も載せておきます。
ヴィエトの幾何的手法についての問題
ヴィエトはオイラーの無限積に \(x=\displaystyle \frac{\pi}{2}\) を代入して、
\(\displaystyle \frac{2}{\pi}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots\)
を得たわけではありません。（オイラーの時代よりも100年近く昔の人物です。）
前の問題とはまた違ったアプローチで、勉強になると思います。
より実践的な話題ですが、
こちらもCHECK
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算術幾何平均【漸化式で定まる数列の極限】【2010年度 北海道大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\) , \(b ...
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の記事でもこの話題を取り扱ってはいますので、そちらもご覧いただけると力になると思います。
お腹いっぱいという人は、まずは焦らずに一つずつ消化していってくださいね。