tan1°は有理数か【sin1°とcos1°についても考える】【2006年度　京都大学】

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言わずと知れた伝説の問題です。

出題された当時、大きく話題になりました。

通常シンプルな問題というのは振り切った難問になりがちですが、本問は常識の範囲内の難問で収まっています。

複雑な計算はいらず、ボリュームも膨らまず、洞察力をシンプルに問う良問です。

とは言え、試験場での出来はよろしくなかったようです。

（以下ネタバレ注意）

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大枠は背理法

無理数だということは直感的に分かりやすいでしょう。

（ここの判断を誤ると泥沼に嵌まる）

無理数（整数の比で表せない）という否定的な命題に関する証明ということで背理法という路線をとります。

ただ、

$\tan{1^{\circ}}=\displaystyle \frac{q}{p}$ ( $p$ , $q$ は互いに素な自然数 )

などと設定しても、手詰まりになると思います。

加法定理の出番

洞察力にかかってくる部分であり、本問のメイン部分でもありますが

$\tan{2^{\circ}}$ も有理数じゃね？

と睨めればしめたものです。

$\tan{2^{\circ}}=\displaystyle \frac{2\tan{1^{\circ}}}{1-\tan^{2}{1^{\circ}}}$

ですからね。

そうなると

$\tan{3^{\circ}}$ も有理数じゃね？

と睨めます。

３倍角を持ち出さずとも

$\tan{(2+1)}^{\circ}=\displaystyle \frac{\tan{2^{\circ}}+\tan{1^{\circ}}}{1-\tan{2^{\circ}}\tan{1^{\circ}}}$

と見れば、十分分かります。

帰納的に

$\tan{4^{\circ}}$ , $\tan{5^{\circ}}$ , $\cdots$ も全て有理数

ということになります。（記述ではもちろん数学的帰納法で示せばよいでしょう）

これによれば

$\tan{60^{\circ}}(=\sqrt{3})$ も有理数

ということになってしまい、矛盾が生じているのが分かります。

背理法により、 $\tan{1^{\circ}}$ が無理数であることが示されます。

倍角公式で押し通すとなると

$\tan{2^{\circ}}=\displaystyle \frac{2\tan{1^{\circ}}}{1-\tan^{2}{1^{\circ}}}$

を加法定理という意識ではなく、２倍角の公式という意識で見ていると、

$\tan{4^{\circ}}$ , $\tan{8^{\circ}}$ , $\tan{16^{\circ}}$ , $\cdots$ も全て有理数

という方向性にいってしまいます。

この場合、若干自爆気味なのですが、

$2+4+8+16=30$

ということに気が付けば何とか着地できます。

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