積分方程式【定数型】【2017年度 札幌医科大学ほか】

定積分は「値」

この話題を理解するにあたっては、積分計算において「生き残る文字」についてパッと読み取れる力が必要です。

ここでいう積分変数 \(x\) はいわば「器の文字」です。

\(=\left[ F(x) \right]_p^t\)

\(=F(t)-F(p)\)

ですから、生き残る文字は \(p\) ,  \(t\) です。

もちろん、

だと、計算結果は「定数」になります。

このように、「器の文字」である \(x\) に色々ぶち込んでいくわけで、そのような認識が必要です。

本問において

例題はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

\(\displaystyle \int_{1}^{e}tf(t) dt\) は定数です。

そこで、\(k\) を定数として

\(\displaystyle \int_{1}^{e}tf(t) dt=k\)

とおくことで、

\(f(x)=2\log{x}-k\)

と、\(f(x)\) の形が具体的になります。

これにより、

\(\displaystyle \int_{1}^{e}t(2\log{t}-k) dt=k\)

という、\(k\) についての方程式が出てきます。

（\(k\) の方程式と見れるかどうかは上述の「器の文字」を見極める目が必要です）

結局は

• \(\displaystyle \int_{1}^{e}t\log{t}dt\)
• \(\displaystyle \int_{1}^{e}tdt\)

という定積分の処理に落ち着きます。

\(\displaystyle \int_{1}^{e}t\log{t}dt\) については部分積分によって処理することになります。

部分積分において \(\log{ \ }\) はワガママなやつで、\(( \  \ )'\) の服を着たがりません。

したがって

\(\displaystyle \int_{1}^{e}(\displaystyle \frac{1}{2}t^{2})'\log{t} dt\)

と見て、部分積分で処理していきます。

類題について

類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

例題の「the類題」です。

類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

こちらは、被積分関数（インテグラルの中身）に \(t\) ,  \(x\)  という文字が入り混じっています。

ひとまずは積分変数が \(t\) であることから、\(x\) をインテグラルの外に摘まみだそうという一手間必要になります。

今回の場合は加法定理でバラすことで、\(x\) を含む部分を摘まみだそうということを目論みます。

例題の解答はコチラ

類題１の解答はコチラ

類題２の解答はコチラ