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縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。
もし、初見であれば、まずは初見でやってみてください。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 縮小関数による漸化式の極限のキーワード ①：\(f'\) の範囲 ( 最大・最小 ) ②：\(f(x)=x\) (不動点の存在) ③：\(a_{n+1}=f(a_{n})\) という漸化式 オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と②の不動点をうまく活用する形で平均値の定理を利用します。 大抵、①の最大値は 1 未満であり、②の不動点を \(\alpha\) として $$|a_{n+1}-\alpha| \leq r|a_{n}-\alpha| \ \ (0\lt r\lt 1)$$ の形に持ち込むのが流れです。 ちなみに、\(a\leq x\leq b\) 内の任意の \(p , q\) に対して、 \(|f(p)-f(q)| \leq k|p-q|\) ( \(k\) はある正の定数 ) となる不等式を満たすとき、\(f(x)\) はリプシッツ連続であると言われます。 一つのストーリーとして、あらすじや流れを確認しておきたい問題です。 リプシッツ連続については 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 必ず成り立つ不等式を文字通り絶対不等式と言います。 本問はある程度の演習をこなしている人からすると、あるものがインスピレーションされると ... 続きを見る も参考にしてみてください。
参考リプシッツ連続【全称命題とその運用】【2004年度 信州大学】