2021年度入試　旧帝大理系数学解答例

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 （誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。） また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら 本問は「通過領域」がテーマになっています。 速報では逆像法（しらみつぶしの考え方）で倒しました。 放物線が通ることができる点の集合が求める領域です。 \((2 \ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   急ぎで作成したので、勘違いや打ち間違い、計算ミスなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 （誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。） また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら   (1) の結果が少し疑心暗鬼になるような形でした。 計算ミスを何度も疑いましたが、試験場だと猶更平常心を保つのは難しいかもしれません。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 （誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。） また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 2021年度東大理系の問題はこちら 曲線から接線を引き、接点と異なる共有点を求める定番の問題です。 連立して出てくる 3 次方程式を解くだけですから、(1) は落とせないでしょう。 その際闇雲に因数 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   急ぎで作成したので、誤りや打ち間違いなどがあるかもしれませんが、ご了承ください。 （誤りが発覚し次第、訂正版をアップしていきます。） また、時期が来たら、戦略なども含めた完全版を出したいと思います。 【追記】詳細版に差し替えました。 なお、2021年2月26日（金）にアップした解答には打ち間違いが多々ありました。 ご迷惑をおかけしました。 さらに誤りなどがございましたら、お問い合わせフォームより報告していただければ幸いです。 2 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 関数の増減に関する考察をさせる問題です。 今回は \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = \theta+\sin{\theta} \\ y=\cos{\theta} \end{array} \right. \end{eqnarray}\) というパラメータ表示された曲線と点 ( \(-\alpha\) ,  \(-3\) ) との距離の２乗として \(f(\theta)\) が与えられて ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   因数分解と恒等式に関する本格的な問題です。 本問は ( 2 次式 ) × ( 2 次式 )  という因数分解ができるように \(a\) を仕組んでください。 という問題でしたが、 「( 1 次式 ) × ( 1 次式 )  という因数分解ができるように」という問題であれば、東大受験生なら一度は経験したことがあると思います。 そういった典型問題をベースに発展させた問題だと思いますが、本問の難しさは発想面というよりも、 何が問われて ...

受験生の皆様、前期日程お疲れさまでした。 今年度は共通テスト初年度でただでさえ不安な中、コロナ禍という事態となり、不安が尽きない１年であったと思います。 そんな中、目標を高く掲げ、日々精進しようと頑張る受験生を何とか応援したいという思いで、2020年10月11日に「MathClinic」を立ち上げました。 立ち上げたばかりで、このブログサイトに来てくれる方はまだまだ少ないですが、数ではなく、来てくれた人が満足してくれるようにと思って日々記事を書いています。 同じく立ち上げたばかりで、数学のトピックス的に扱 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   京大が定期的に出題する小問集合のスタイルで、2019年度 ,  2012年度 ,  2011年度にも独立した問として、この形式で出題されています。 問１については京大は平面の方程式を前面に押し出す解答で大丈夫でしょう。ベクトルを駆使しながら確実に処理しきりたい問題です。 問２の確率については、単元学習の段階ではちょっとした難問でしょうが、実戦のレベルからすれば基本問題でしょう。 控えめに言って問２を落としてしまうと、ビハインドと ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   一見して、すぐに 接点を設定して、接線の式を立式 \(x\) 切片を求めて \(Q\)  の座標を出す \(PQ\) の長さである \(L\) の式を出す あとは煮るなり焼くなり・・・ と、方針面で困ることはないと思いますので、基本的には計算勝負となるでしょう。 落ち着いて計算ミスに気を付けて進めていきましょう。 ただ、計算してみると分かると思いますが、2 乗につぐ 2 乗が登場しますので、全集中して処理してください。 置き換え ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   かわいい顔をしていますが、割と棘のある問題だと思います。 無限級数の問題では、 無限級数の鉄則 部分和をとって、その極限を取る というのが鉄則です。 その鉄則は京大受験生であればクリアーして然るべきでしょう。 そこで、\(\displaystyle \sum_{k=0}^n (\displaystyle \frac{1}{2})^{k}\cos{\displaystyle \frac{k\pi}{6}}\) などと部分和を考えま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   公式 曲線の長さ（道のり）の公式 \(L=\displaystyle \int_{\alpha}^{ \beta } \sqrt{1+(\displaystyle \frac{dy}{dx})^{2}} dx\) に沿って計算していくだけであり、方針面では困ることはないはずでしょう。 手なりに計算していけば結局は \(\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{1}{\c ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大にしては珍しく誘導があります。 (1) は幾何的に攻めたいですね。 ２定点を見込む角度が一定ということで、円周角の定理をインスピレーションできるでしょうから、答えはすぐ出せると思いますが、条件 (*) についてどこまで自明のものとして扱ってよいのかという点で書きづらさを感じた人も多いのではないかなと思いました。 (2) は軌跡ですから、基本的には座標的に処理するのが普通でしょうか。基本に忠実に \((X \ , \ Y)\)  として \ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   第６問も独立した２つの問いの形式ということに軽く驚きましたが、そこは「そういうこともあるのか」程度のものでしょう。 問１はメルセンヌ素数（ \(2^{n}-1\) という形の素数 ）についての有名事実 \(n\) を正の整数として、\(2^{n}-1\) が素数であるならば ,  \(n\) も素数である。 というものの延長的な話題だと思われます。 シナリオについても決め手が \(x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1 ...

今年の京都大理系数学を解いての感想です。 難易度について 切れ味の鋭い論証を含むというよりも、計算が主体の問題が多かったと思います。 そういった意味で、発想面で困る問題は少ないことも考えると全体的な難易度はやや易化したかなと思います。   2021年度　京都大学理系　各解説記事   第１問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   京大が定期的に出題する小問集合のスタイルで、2019年度 ,  2012年度 ,  2011年度にも独立した問として、こ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 聞かれ方としては \(a\) ,  \(b\) を実数とする。 方程式 \(ax^{2}+bx+1=0\) が正の実数解をもたないような点 \(a \ , \ b\) の領域を図示せよ。 という聞かれ方の方が多いかもしれません。 俗にいう「解の配置問題」というやつで、２次方程式の場合 解の配置問題 軸 判別式 代入 （通称ジハダ） （これができなきゃハジダ） に目を向けて処理する定番の問題です。 「こうなっててくれ～」という願いを込めて図をか ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   三角形の面積比という話題から始まり、その面積比を与える２変数関数のとり得る値を考え、最後は整数問題に帰着させるという欲張りな問題構成になっています。 各分野に関する総合的な力が必要で、幾何の話題→関数の話題→整数の話題、と目線の移動も激しいです。 (1) を落とすと、それに連動して (2) ,  (3) も失ってしまう問題なので、(1) は慎重に確保したいところです。   のような角度 \(\theta\) を共有する ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   正多角形の頂点を用いて三角形を作る定番の話題です。 話題自体は定番なのですが、色々なバリエーションがあるため、数えさせられるものも様々です。 (1) は直角三角形の個数で、定番中の定番です。 直径に対して残り１点を決めるという流れで求めればよく、これは落とせないでしょう。 (2) は直角三角形が (1) で求まっています。 そこで、 （直角三角形の個数）＋（二等辺三角形の個数）ー（直角二等辺三角形の個数） によって、直角三角形ま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 流し読みして、問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。 直線の通過領域にしても差が付くテーマなのですが、線分の通過領域となると、範囲が制限されているので、さらに厄介になることが多いからです。 ただ、今回の問題については解き進めていくうちに、「目で追い切れる」ことが分かります。 (1) はオチの分かっている因数分解からの、解と係数の関係の利用 (2) は軌跡の基本 であり、確保したいところです。 (3) の通過領 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   複素数平面に関する共線条件から始まり、二等辺三角形をなすための条件を求め、その二等辺三角形の面積が最大となるときをとらえるというオチです。 (1) は基本の話題なので、落としてはならないでしょう。 (2) も素直「OA=OB」または「AO=AB」または「BO=BA」であることを式的にとらえればよく、特に無理のないレベルでありこれも落としたくはありません。 (3) については頭では分かるかもしれませんが、それを説明する部分にもどか ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   いいか悪いかはおいておき、有名ネタである \(e^{x}\) のテイラー展開による剰余項をもとにした問題で、類題もそれなりに多いため、まんまとは言わないまでも触れたことがあったという人もそれなりにいるかと思います。 (1) は数学的帰納法という路線には乗りたいところで、帰納法で進めるにあたり漸化式を作成しておくことが必要です。 積分漸化式については 積分漸化式作成の常套手段 部分積分で作成 というセオリーに従います。 (2) に ...

今年の東北大理系数学を解いての感想です。 難易度について 取り組みやすくなった昨年に比べ、今年も比較的取り組みやすいセットだったように思います。 昨年に比べて大きな難易度変化はないでしょう。 2021年度　東北大学理系　各解説記事 第１問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 基本的な解の配置問題であり、落ち着いて確保したいところです。 難易度はやや易で、今年のセットでは落とせない一問です。 第２問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ざ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   色々な方針が考えられます。 空間座標の問題においてはベクトルから攻めるのが常套手段ではあります。 その理由を説明するためには「方程式とは何ぞや」ということについて述べなければなりません。   「方程式とは何ぞや」ということをすごくざっくり言えば 「この＝を満たす○○集まれ～」 です。 １次方程式 例：\(3x-4=5\) →意味：\(3x-4=5\) を満たす \(x\) 集まれ！ →集まった結果（解）：\(x=3\) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２次方程式の虚数解をもとに複素数平面上で様々なことを考察する問題です。 (1) で困る人はいないでしょうから、実質は (2) からの勝負ということになると思います。 実際この問題を見たときの私のメモです。     大体見た感じでこのあたりまで読み解いて、あとは詰めていくか、といった感じで解き進めました。 詰めの作業のときに、最後の (3) で出した \(\tan{\theta}\) の値が (1) の \(\theta\) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   テーマとしては (1) が絶対不等式の考え方、(2) が x 軸回転体の体積ということですが、実質は (1) が山場です。 区間 \(I\) において \(f(x) \gt c\)  ( \(c\) は定数 )  が常に成立するとは 区間 \(I\) における最小値を \(m\) として \(m \gt c\) が成立する。 ということが言えます。 その区間における最小値（一番雑魚）が \(c\) に勝てるのであれば、その他の連 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   平均値の定理 \(a\) ,  \(b\)  を \(a \lt b\) を満たす実数として、\(a \leq x \leq b\) で \(f(x)\) が微分可能としたとき \(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\) を満たす \(c\) が \(a \lt c \lt b\) に存在する という平均値の定理の形を彷彿とさせます。 定義域が複素数であると複素関数になってしまい、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た感じ本格的な匂いを感じました。 主張がシンプルで高級そうなオチで、今回のセットの中では目を引く問題でした。 少し愚痴ると、 \(n\) は 4 以上の自然数とする。 \(2 \leq k \leq n-2\) を満たす自然数 \(k\) に対して \({}_n \mathrm{ C }_k \gt n\) を示せ。 ぐらいまで書いておいてほしいなと思います。 自然数 \(k\) が \(2 \leq k \leq n-2\) として存在す ...

今年の九州大理系数学を解いての感想です。 難易度について 標準問題を下地としながらも、各分野の総合的な問題に仕上げていたり、逆に見慣れない設定で対応力を試すような問題もあり、完答するためには、確固たる力が必要な問題たちだったと思います。 昨年からの大きな難易度変化はないと感じましたが、絶対的な難易度は高い水準で保っているといった感じでしょうか。 少し前までは九州大学の問題は標準的なイメージがありましたが、あまりそういった「傾向と対策」に偏りすぎないように、きちんと地に足つけて勉強してきてくださいという警鐘 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 平面ベクトルの問題で、基本的には２本の主役ベクトル（基底）\(\vec {a}\) ,  \(\vec {b}\) を用いてゴリゴリ進めていく路線でいけば間違いないとは思います。 ただ、今回は至る所に現れる「垂直」であったり、それに付随する相似な関係など、適宜幾何的な目線で処理することで、処理を少しでも軽くするように工夫したいところです。 (1) の正射影ベクトルについては、手垢の付いた話題であり、巷では「公式化」しているかのように解説されて ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線の２接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。 大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。 手垢が付きすぎているオチを嫌った（？） 解き始めて最初に思ったことは 「\(a+2\) のまま計算する必要性ってあるのか？」 ということです。 シンプルに \((b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2})\) として計算して ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ざっと見た感じだと (2) のオチは２変数関数の最大問題です。 (1) の設問的にどうやら従属２変数関数であるなということ、つまり (1) は文字消去するためのヒントという位置づけだなということが読み取れます。 したがって、(1) を確保できないとなると、それが (2) まで響いてきてしまい、大怪我に繋がってしまいます。 その (1) ですが、分母の 6 に含まれる素因数 2 や、左辺の + の形が邪魔で、左辺と右辺を見比べるということは難し ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 連立漸化式をベースとした整数問題であり、ざっと見た感じだと 「証明のベースは漸化式と相性の良い数学的帰納法かな。全貌に関しては手を動かしてみないと分からんな。」 という印象でした。 (1) は計算するだけなので、問題はないでしょう。 (2) ですが、 \(a_{n}\) が常に偶数なのか、\(b_{n}\) が常に偶数なのか、時と場合によって違うのか という疑問のもと、実験して様子を掴んでみようと思いました。 実験の結果、\(a_{n}\) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） パラメータ表示された曲線に関する基本的な扱いに関する問題です。 やるべきことは一本道であり、迷う余地がありません。 時間を奪われてもいけないレベルの問題であり、本問で躓くということは基本事項の抜けがどこかにあることを示唆するでしょう。 計算量もそこまで多くはありません。 そういった意味で、将来的に本問はどこかの問題集に収録される類の問題だと思います。 問題の難易度はやや易と言いたいところですが、出来具合についてはきっちりと差が付くと思います。 ...

今年の北大理系数学を解いての感想です。 難易度について 北大は昔から標準的な問題をベースとした適度な良問を出題している大学です。 今年についてもその特徴は顕在で、すべての問題が決して無理のない標準的な問題のセットだったと思います。 今年のセットは計算量も多くなく、昨年度よりやや易化したと言えます。 2021年度　北海道大学理系　各解説記事   第１問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 平面ベクトルの問題としての出題ですが、適宜幾何的な見方をすることで、処理を手際よく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   パッと見た印象は (2) の \(\displaystyle \frac{t}{s}\) が (1) の結果から \(a\) ,  \(b\) の 2 変数関数で、条件から \(b=\displaystyle \frac{9}{4}-3a^{2}\) という従属性をもっている従属２変数関数の最大最小になるなと、読み取れました。 大体の方針はもう見えているので、あとは計算していくのみです。 実際の細々とした注意点については【戦略】 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   状況を図に書いてみて、言われていることを式に落とし込んでいったら、結論まで躓くことなく辿り着けるはずです。 一般に４点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\)  が同一平面上にあるための条件は次の通りです。 共面条件 空間内の異なる４点 \(A\) ,  \(B\) ,  \(C\) ,  \(D\) が同一平面上にあるとき、実数 \(s\) ,  \(t\) を用いて \(\overrightarro ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   見た目がゴツいため、ウワっと思いがちですが、(1) ,  (2) まではやってみると見掛け倒しということが分かると思います。 問題は(3) です。 阪大受験生からすれば、 \(p\) ,  \(q\) を求めること自体はそこまで難しくはないと思われます。 ただ、その導出過程には気を付けたいところで、 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n}-□n) = △\)  だから  \(p= ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   一見、この定積分がどう効いてくるのか身構えますが、実際に解き進めてみると中身は整数問題です。 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い 余りで分類 評価する（範囲を絞る） と、整数問題に対する有力な方針は３つあります。 このあたりのもう少し例題要素の強い問題については 等で扱っていますので、適宜ご活用ください。   本問は整数問題の基本やその運用力について試す問題で、整数問題の基本的な運用力を下地として、式のもつ形を観 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   (1) は \(f(x)=x-\tan{x}\)  ( \(-\displaystyle \frac{\pi}{2} \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}\) )  と設定し、微分すれば \(f(x)\) が単調減少であることが即座に分かります。 あとは任意の実数 \(a\) に対して \(y=f(x)\) のグラフと \(y=a\) が 1 点のみで共有点をもつことが言えればよく、この \ ...

今年の大阪大理系数学を解いての感想です。 難易度について 内容自体は標準的な内容が多いように思いましたが、完答するためには何かしらのワンパンチが必要な問題が並んでいたように思います。 昨年に比べて難易度は保っていたように思いますので、大きな難易度変化はないといってよいと思います。   2021年度　大阪大学理系　各解説記事   第１問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 最終的に従属２変数関数の最小値を求める問題に帰着します。 今回は \(b=\displa ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   前半は共通接線の扱いを話題にした定番の問題です。 名古屋大受験生であれば落とすことは許されないと言っても言い過ぎではないでしょう。 後半については放物線と２接線で囲まれた図形の面積に関する考察です。 これも定番の構図であり、本気で名古屋大を目指している受験生であれば経験があるはずです。 したがって、\(C_{2}\) の式にややクセはあるものの、本問は確保しておきたい問題の部類に入ると思います。 個人的にはやや易～標準だと思いま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   (1) ,  (2)  は教科書、傍用問題集レベルの基本的な問題であり、第１問同様に確保したいところです。 遥か昔に名古屋大は 1975年度名古屋大学 \(\log_{2} 3\) と \(\log_{3} 4\)  の大小を比較せよ。 という問題を出題していたことがありました。 それに比べれば、今回はヒントとなる \(\displaystyle \frac{3}{2}\) という数字も与えてくれています。 (3) のオチも ( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   「読んでルールや設定を理解するのにエネルギーを要する問題」です。 ここ数年の名古屋大学の特徴だと言えると思います。 この問題を見たことある人は多分いないでしょう。 完全に「その場力」が必要です。 本問は手を動かしながら「ハイハイ、そういうことね」と色々要領が分かってきます。 「丸をつけて石を置く」というのは言ってみれば「記録を取りながら動く」わけですからイメージとしては 「スタンプを押していく」 といった感じでしょうか。 前半２ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   ガウス記号に関する問題で、見かけに圧倒されて深入りしなかった受験生も少なくないかと思われます。 一般に \([x]\) に対して , ガウス記号に関する不等式 \(x-1 \lt [x] \leq x\) \(\cdots\) ①   あるいは  \([x] \leq x \lt [x]+1\)  \(\cdots\) ② という不等式を駆使しながら話を進めていきます。 ① から ② が導けますし、② から ① が導けます。 覚 ...

今年の名古屋大学理系の問題を解いての感想です。 難易度について ここ数年の名古屋大学の問題の難易度から考えると、今年は易化と言ってよいでしょう。 単品で見ればいい問題なんだけど、試験のセットとしては機能していないと思われるレベルの問題を容赦なく出題していました。 それを考えると今年は幾分か良心的です。 2021年度　名古屋大学理系　各解説記事       第１問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 共通接線という定番の話題からスタートし、最後は２本 ...