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ガウス記号に関する問題で、見かけに圧倒されて深入りしなかった受験生も少なくないかと思われます。
一般に \([x]\) に対して ,
ガウス記号に関する不等式
\(x-1 \lt [x] \leq x\) \(\cdots\) ① あるいは \([x] \leq x \lt [x]+1\) \(\cdots\) ②
という不等式を駆使しながら話を進めていきます。
① から ② が導けますし、② から ① が導けます。
覚えやすい方で覚えていれば構いません。
必要に応じて① で見るか ② で見るかが変わってくると思いますので、臨機応変に対応する準備が必要です。
本問についてですが、ガウス記号のまま話を進めてもいいのですが、見やすさ重視で
\([x_{n}]=M_{n}\) ( \(M_{n}\) は整数 )
とおいてやると、整理しやすくなりますし、目にも優しくなります。
ガウス記号には「名前を付ける」という自分なりの整理術です。