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絶対値付きの定積分で表された関数の最大値と最小値を求める問題です。
絶対値を外すにあたって本来であれば場合分けが必要ですが、\(0 \leq x \leq 1\) によって
\(\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt+\displaystyle \int_{x}^{1} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt\)
と区間を分割できるため、
\(\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{x-t}{1+t^{2}}dt+\displaystyle \int_{x}^{1} \displaystyle \frac{t-x}{1+t^{2}}dt\)
と絶対値が外せます。
この形から、この後の流れとしては
\(t=\tan{\theta}\)
という置換積分による処理が待ち構えているということが分かると思います。
\(f(x)\) の最大・最小を調べるために当然 \(f'(x)\) についても調べますが、その際には
微積分の基本定理
\(a\) を定数とするとき、
\(\displaystyle \frac{d}{dx} \displaystyle \int_{a}^{x} f(t)dt=f(x)\)
という基本事項を用います。
途中、\(x=\tan{\varphi}\)、\(t=\tan{\theta}\) などと置きながら計算を進めていき、加えて問題文で \(\tan{\alpha}\) が登場することで、文字と文字の対応が目まぐるしくなりますが、ここでいう \(\alpha\) というのは「特別な値」であるということを見失うことがないように記述していきましょう。