解答速報

2022年度 九州大学 理系数学【総評と感想】

2022年度九州大学理系 各解説記事

2022年度 九州大学 理系第1問【折れ線の長さの最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間において折れ線の長さの最小値を考える定番の話題です。 オチ自体が典型的な話題ですし、そのオチに向けた誘導もしっかりついています。 第1問ということもあり、本問をしっかり確保することで勢いに乗りたい標準的な問題です。 MathClinic では においてしっかりと扱っています。 勉強している人ほど、様々な解法が目につくため、逆に目移りしてしまうかもしれません。 翻訳の仕方の違いで多少の計算量は増減しますが、劇的に変化するというほどでもないた ...

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2022年度 九州大学 理系第2問【3次式で割った余りと極限】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 訊き方をもう少しマイルドにすれば手が付く受験生も多少増えるとは思いますが、敷居の高い訊き方をしているので、(1) から怯んでしまった受験生も多かったと思います。 (1) は要するに \(x^{n}\) をうまく式変形して \((x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C\) という形にしてみてね。 という問いかけなのですが、「存在することを示せ」と言われ、何をすれ ...

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2022年度 九州大学 理系第3問【不定方程式の特殊解】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) よくある整数問題に見えますが、(3) まで完走しようと思うと大変です。 (1) は 「\(n\) が偶数だと整数にならなくないか?」 という疑問が湧いてくれば、 今回の問題で考える①を満たす \(n\) というのが奇数である ということに気がつくと思います。 なので、 \(n=2N-1\) などとおいて手なりに進めていけば解決です。 (2) については \(168=2^{3} \cdot 3 \cdot 7\) と、素因数分解し、\(n^{2 ...

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2022年度 九州大学 理系第4問【定積分の定義と性質の証明】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題文が長く、圧倒されそうですが、よく読んで解き進めてみると、内容は 定積分の計算上の定義 定義から言える定積分に関する各種性質 についての理解度を問う標準的な内容です。 どちらかというと、公式の証明に近い内容です。 新たな概念やそれに伴う記号を学習する際、定義やそれにまつわる諸性質についてきちんと理解してきた人は、本問は難なくこなせるでしょうが、逆にそのあたりをなぁなぁに済ませてきてしまった人は強烈なボディーブローのように感じるでしょう。 ...

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2022年度 九州大学 理系第5問【パラメータ表示された曲線】【ハイポサイクロイドの概形と面積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) パラメータ表示された曲線に関する概形と面積について考える定番の話題です。 最終的にこの曲線 \(C\) の概形を図示することになりますが、それに向けてうまく工夫して考えるように誘導がついています。 誘導に乗れるかどうかということは、誘導のありがたみを感じることができるかどうかということです。 \(x\) 軸についての対称性 \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) ごとの回転対称性 という「対称性」を駆使し、省エネしなが ...

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  • 150分
  • 5題
  • 記述式

と、形式に変更はありません。

分野的トピックス

第1問:空間ベクトル

第2問:整式 極限

第3問:整数

第4問:微分法・積分法(Ⅲ)

第5問:微分法・積分法(Ⅲ)

 

第4問は文章を読んで、その内容の補足や証明について考えるという、九州大としては目新しい形式でした。

第5問は表面上微分法・積分法の問題ですが、その処理過程において複素数平面の内容が入っていました。

 

各大問について

第1問(標準)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

空間における折れ線の長さの最小値というよくある問題で、今回のセットの中では確保したい一問です。

本サイトでも

参考折れ線の長さの最小値【2次元の問題と3次元の問題】【2007年度 愛知教育大学ほか】

平面の問題【問題1】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間の平面上を動く問題【問題2】はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間の直線上を動く問題【問題 ...

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で扱っています。

結論まで辿り着くということは前提の上で、どれだけ時間を節約できたかという勝負でしょう。

難易度は標準です。

第2問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

\(x^{n}\) の除法と恒等式の扱いに関する問題です。

(1) は訊かれていることを噛み砕ければ、何をするべきかが見えてきやすいですが、「存在することを示せ」という訊かれ方をされて何をしたらよいのか見失ってしまう受験生も少なくなかったと思います。

(1) ができなくとも、(1) の形だけ拝借することで、(2) は手を付けることが可能です。

(2) は \(x=\alpha\) ,  \(x=\beta\) を代入して、\(C\) ,  \(B\) を Get することは容易いですし、

「もう代入するものがない」

という、九州大受験生であれば一度はぶち当たる悩みに対する解決策も経験していて然るべきものです。

(3) は (2) ができていないと連動して点を失いますが、(2) ができていれば形から微分の定義により不定形を捌く形が目につくと思います。

最終的に完答するためには相応の力が必要であり、やや難です。

第3問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

一見するだけだと、よくある不定方程式の整数解の話題かなと思います。

現実的に受験生であれば (1) ,  (2) まで確保できれば及第点でしょう。

(3) は (2) の結果をうまく使いながらの息の長い議論を要求され、スタミナが必要です。

正直最初に見たとき、

「1組求めよ」

という文面で、

「一般的に解くことが大変ということか?」

と、嫌な予感がしました。

「解く」というよりも「探す」という態度になるので、目を光らせて、特徴的な部分を見逃さないようにしようという気持ちで取り組みました。

なお、本問で求めた特殊解以外の解を発見することは、ほぼ不可能であることを解き終わった後に Excel を用いて検証してみました。

詳しくは個別解答解説をご覧ください。

第4問(標準)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

問題文が長く、圧倒されそうですが、よく読んで解き進めてみると、内容は

  • 定積分の計算上の定義
  • 定義から言える定積分に関する各種性質

についての理解度を問う標準的な内容です。

抽象的な部分があり、話を進めていく上でやりづらさを感じる受験生も一定数いるかなと思いますが、内容的には公式の証明系の話題に近い内容です。

文章を読み、その内容を補足させたり説明させたりするという内容で、九州大の問題として目新しい形式の問題です。

今後こういった問題が入ってきて、それが九州大の数学の目玉になるのかどうかというのは、来年以降注目したいところでしょう。

数学的な難易度は標準です。

第5問(やや難)

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

パラメータ表示された曲線の概形と面積に関する問題で、話題としては頻出の話題です。

パラメータ表示された曲線については

  • 概形の図示
  • 面積計算
  • 回転体の体積計算
  • 弧長
  • 接線の立式

など、一通りの扱いについて習熟しておく必要があります。

本サイトでも

有名曲線シリーズ

円の垂足曲線【動点の動く軌跡と動いた道のり】【2005年度 岡山大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 曲線上の動点 \(T\) における接線に、定点から下ろした垂線の足の軌跡を「垂足曲線」と言います。 本問は円の垂足曲線を扱った問題です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 一般的に垂足曲線は \(y=f(x)\) のような表示だと複雑になりますから、パラメータ表示(媒介変数表示)を用いて表現します。 ココがポイント ベクトルをつないでパラメータ表示 サイクロイド系の有名曲線もこのポイントの考え方でパラメ ...

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有名曲線【エピサイクロイドと長さ】【1989年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド3兄弟の一人、エピサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む どれだけ回転したかを表す量 \(\theta\) を導入すれば、点 \(P\) \((x \ , \ y)\) について $$\begin{eqnarray} ...

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有名曲線【ハイポサイクロイド】【アステロイド】【2014年度 岐阜薬科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド3兄弟の一人、ハイポサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む どれだけ回転したかを表す量 \(\theta\) を導入すれば、点 \(P\) \((x \ , \ y)\) について $$\begin{e ...

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有名曲線【伸開線:インヴォリュート】【1998年度 武蔵工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問は円の伸開線(インヴォリュート)と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。 円に巻き付いた糸をたわむことなくほどいていったときの糸の先の軌跡です。 セロハンテープを伸ばすイメージに似ていますね。 本問では丁寧に図がついていますが、イメージして自分で図がかけると、立式のポイントを体で覚えられると思います。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読 ...

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有名曲線【カージオイド】【複素数平面からの問いかけ】【2005年度 早稲田大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   複素数平面の顔をしていますが、一皮むけば、有名曲線が現れます。 もちろん、その有名曲線特有の知識がなければ解けないとかはないのでご安心ください。 少しぼやくと 今回 \(|z|=1\) を動くとしか書いていません。 \(z\) が半径 1  の円をグルグル動けば、\(w\) も際限なく動き、点 \(w\) の描く曲線の長さは特定されません。 今回は非常に好意的に解釈し、 「重なっていない部分を曲線の長さとみなして」 考えました。 ...

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有名曲線【アステロイド】【陰関数の微分】【1982年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 本問は教科書的な項目で言えば 陰関数の微分に関する力を見る問題 ということができるでしょう。 これから述べる背景的なものや、経験的な部分でアドバンテージをもてることはありますので是非今後の糧にしておきたい問題です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 接線の式を出すために まずは接線の式を出すために \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) を出す必要があります。 今回は \(y=f ...

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有名曲線【サイクロイド】【パラメーター表示された曲線の接線の扱い】【1988年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) サイクロイドという有名曲線を扱った問題です。 サイクロイドとは ガムを踏んだタイヤが転がったときの、ガムの軌跡 です。 サイクロイドの中でも一番シンプルな地面を転がるタイプです。 パラメーター表示された曲線の扱いがしっかりしていれば、サイクロイドだということを知らなかったり、見抜けなかったとしても、問題自体は解くことができます。 ひとまずはパラメータ表示された曲線の扱いと言う部分の確認として利用してみてください。 本問は、簡単すぎず、難しすぎ ...

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有名曲線【等角螺旋と特徴的な性質】【2000年度 神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。 対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的なものと関連付けると等角螺旋という呼び方が「名が体を表す」ような呼び方なのでここではそう呼ばせてもらいます。 本問は教科書的な力で言えば 微分法の基本的な運用力 ベクトルを用いて座標平面上の角度を扱う力 パラメータ表示された曲線の弧長を求める力 が問われています。 上記の力をはかるためには、別に等角螺旋を題材 ...

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有名曲線【カテナリー(懸垂線)】【2017年度 名古屋市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) カテナリー(懸垂線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題を見ていきます。 カテナリー(懸垂線)とは カテナリー(懸垂線)は鎖やロープの両端をもってぶら下げたときにできる曲線と紹介されるのが有名です。 カテナリー(懸垂線)を与える式 \(a\) は \(a \gt 0\) を満たす定数とするとき、カテナリー(懸垂線)を与える式は カテナリーを与える式 \(f(x)=\displaystyle \frac{a(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\ ...

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有名曲線【リサジュー曲線 (リサージュ 曲線)】【2014年度 同志社大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) リサジュー曲線と呼ばれる有名曲線について扱った問題です。 リサージュ曲線という呼ばれ方もあり、呼ばれ方に多少揺れがあります。 個人的にはリサージュの方が言いやすいですけど。 リサージュ曲線の定義 媒介変数 \(t\) を用いて リサージュ曲線 $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x  = A \sin{at} \\ y = B \sin{(bt+\delta)} \end{array} \r ...

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有名曲線【デカルトの正葉線】【2015年度 横浜市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) デカルトの正葉線という曲線についての問題です。 項目的には極座標で表された曲線が囲む面積ということになります。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 極方程式について 与えられた \(x^{3}-3axy+y^{3}=0\) に \(x=r\cos{\theta}\) ,  \(y=r\sin{\theta}\) を代入すると \(r^{2}\{r(\cos^{3}{\theta}+\sin^{3}{\th ...

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有名曲線【アルキメデスの螺旋(渦巻線)】【2002年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) アルキメデスの螺旋(渦巻線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。 アルキメデスの螺旋 \(a\) を \(a \gt 0\) なる定数としたとき、極方程式 \(r=a \theta\) で与えられる曲線をアルキメデスの螺旋(渦巻線)と言います。 本問はアルキメデスの螺旋の弧長について計算させる問題です。 結局差が付くのは最後の積分計算でしょう。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む (1) について 良くも ...

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有名曲線【レムニスケート】【2005年度 鹿児島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) レムニスケート(連珠形)と呼ばれる有名曲線を題材とし、 直交座標表示と極方程式との結びつき 極方程式で表される曲線の面積 について学習します。 正直極方程式はウルサイ議論が多く、記述で抜かりなくまとめるには神経を使うので疲れる分野に感じる人も多いでしょう。 そのあたりについては「方程式」という言葉の意味を噛み砕いていけば、押さえるべき部分というのがある程度は見えると思います。 どうやって解答をまとめようかという「記述のまとめ方」みたいなところ ...

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2022年度 九州大学 理系第5問【パラメータ表示された曲線】【ハイポサイクロイドの概形と面積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) パラメータ表示された曲線に関する概形と面積について考える定番の話題です。 最終的にこの曲線 \(C\) の概形を図示することになりますが、それに向けてうまく工夫して考えるように誘導がついています。 誘導に乗れるかどうかということは、誘導のありがたみを感じることができるかどうかということです。 \(x\) 軸についての対称性 \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) ごとの回転対称性 という「対称性」を駆使し、省エネしなが ...

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で、有名曲線をテーマとし、上記の基本を諸々扱っています。

本問は、対称性を駆使しながら省エネして考えていくことになります。

(3) の結果を認めてしまえば、図示すること自体はそこまでハードルが高いわけではなく、(3) の対称性の証明が差がつく部分でしょう。

難易度は「このぐらいは標準」と言いたいところですが、現実的にはやや難です。

全体的に

九州大学は、旧帝大の中では比較的標準的な問題や定番の内容を出題する大学です。

さらに、丁寧な小問による誘導が多く、誘導にのる力が必要です。

今年についても、その特徴は健在でした。

今年は最後のオチに気合が入っている問題が多く、完答するのが昨年のセットに比べて大変だと思います。

第1問は確保したいところですが、

第2問、第3問、第4問、第5問

については、どれもそれなりに一癖あります。

強いて言うなら、数Ⅲまでしっかりと仕上げている人はまだやること自体明確な第5問を確保できると心強いでしょう。

今年については昨年に比べてやや難化だと言えます。

昨年の九州大学の問題も何かしら一山ある問題が多く、一昔前の標準的な問題というイメージのままでいると置いていかれかねません。

来年度以降の受験生については、色々なところで言っていますがまずは標準典型問題をしっかりと手際よく捌ける力をつけておきましょう。

加えて、小問の多い九州大学においては、前問の結果を活用できないのか目を光らせるということもしっかり意識しておきましょう。

中には「余計なお世話」と思えるものも少しずつ出てくると思います。

そう思えてきたら力がついてきている証拠です。

2018年度は5題中3題が誘導のない出題で、そういうこともあります。

安易な傾向と対策というよりも、まずは自分の絶対的な力をつけることを目標に地に足の着いた学習を積み重ねていってください。

2022年度九州大学理系 各解説記事

2022年度 九州大学 理系第1問【折れ線の長さの最小値】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 空間において折れ線の長さの最小値を考える定番の話題です。 オチ自体が典型的な話題ですし、そのオチに向けた誘導もしっかりついています。 第1問ということもあり、本問をしっかり確保することで勢いに乗りたい標準的な問題です。 MathClinic では においてしっかりと扱っています。 勉強している人ほど、様々な解法が目につくため、逆に目移りしてしまうかもしれません。 翻訳の仕方の違いで多少の計算量は増減しますが、劇的に変化するというほどでもないた ...

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2022年度 九州大学 理系第5問【パラメータ表示された曲線】【ハイポサイクロイドの概形と面積】

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