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よくある整数問題に見えますが、(3) まで完走しようと思うと大変です。
(1) は
「\(n\) が偶数だと整数にならなくないか？」
という疑問が湧いてくれば、
今回の問題で考える①を満たす \(n\) というのが奇数である
ということに気がつくと思います。
なので、
\(n=2N-1\)
などとおいて手なりに進めていけば解決です。
(2) については
\(168=2^{3} \cdot 3 \cdot 7\)
と、素因数分解し、\(n^{2}-1\) が
- \(8\) の倍数
- \(3\) の倍数
- \(7\) の倍数
という３つを示すことになります。
元々与えられていた①を
\((n^{2}+1)(n^{2}-1)=210m^{2}\)
と見て、
\(n^{2}+1\) が
「 \(3\) の倍数、及び \(7\) の倍数にならない 」
ということを目指します。
これにより
\(n^{2}-1\) が \(3\) の倍数、及び \(7\) の倍数になるしかない
ということが言えます。
一方、(1) の途中過程で
\(n^{2}-1=4N(N-1)\)
という関係式を得ているはずです。
\(4\) の倍数であることは確定ですが、さらにもう一押し
- \(N(N-1)\) が連続２整数の積
ということに注目すれば、\(N(N-1)\) が偶数なので、\(4N(N-1)\) が \(8\) の倍数であることも容易に示せます。
(3) が色々問題です。
手なりに進めていける部分と、観察して考えなければならない部分があり、特に観察眼の方については整数問題に対するモノの見方を経験によって培ってきていないと急所を見過ごしてしまいます。
そのあたりは長くなりましたが【戦略】でしっかりと解説しました。
なお、本問は「１組求めよ」という指示であり、「見つけたもん勝ち」的な問題です。
解くというよりも見つけることに主眼を置いていますので、
「見つけた後のことは知～らね」
という解答になってしまっています。
一応、そのあたりのフォローは解き終わった後に調べましたが、Excel などを用いて調べると地獄であることが分かります。
このあたりを【総括】でふれておきましたが、それを見ていただけると、この問題で「１組見つければいいよ」という緩い問いかけになっているのも納得です。