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2021年度 京都大学理系第5問【垂心の軌跡】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

京大にしては珍しく誘導があります。

(1) は幾何的に攻めたいですね。

2定点を見込む角度が一定ということで、円周角の定理をインスピレーションできるでしょうから、答えはすぐ出せると思いますが、条件 (*) についてどこまで自明のものとして扱ってよいのかという点で書きづらさを感じた人も多いのではないかなと思いました。

(2) は軌跡ですから、基本的には座標的に処理するのが普通でしょうか。基本に忠実に \((X \ , \ Y)\)  として \(X\) ,  \(Y\) の関係式を Get しにいく方針で問題ないでしょう。

ベクトルを用いても処理できると思いますが、少し経験が必要で、

オイラー線

三角形 ABC の外心を \(O\) , 重心を\(G\) ,  垂心を \(H\) としたとき

\(\overrightarrow{ OH }=3\overrightarrow{ OG }\)

が成立する。

これより ,  \(O\) ,  \(G\) ,  \(H\)  が同一直線上にあり、その直線をオイラー線と言う

という有名な話題を経験していると、労力的にもすっきり処理できます。

京大はこの幾何や座標やベクトルなど複数の方針が考えられる話題が好きですね。

解いていて「らしいなぁ」と思いました。

以前、

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という記事も書いていますので、よかったら見ていただければなと思います。

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