例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
訊かれていること自体はそこまで複雑なものではありませんが、頭に血が昇りやすい問題です。
何のプランもなく気の向くままに解き進めていくと、中々うまくいかない歯がゆさを感じると思います。
手元にある条件と、辿り着くべき目的をしっかりと認識し、その間をどのように埋めていくかということを一個ずつ丁寧に詰めていく力が必要です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 辺の長さ \(a\) , \(b\) , \(c\) がこの順に等差数列であるという条件から \(2b=a+c\) という関係式が手元にあります。 今回、\(C\) に条件がつくことにより、\(\cos{A}\) を求めるわけです。 余弦定理より という式が手元にあります。 これらの関係式をどう結び付けていくかが問題です。 今回問われている \(\cos{A}\) というのは比率であり、 大きさによらない ということになります。 そこで、長さ \(a\) , \(b\) , \(c\) の情報ではなく、形（角度）についての情報を抽出することを目指したいと思います。 ひとまず、 \(2b=a+c\) という関係式から \(b\) が消去できます。 これを先ほどの余弦定理の式に代入すると という式を得ます。 ここから、\(\displaystyle \frac{c}{a}\) を消去することを考えます。 \(\displaystyle \frac{c}{a}=\displaystyle \frac{5-4\cos{A}}{3}\) より、 \(\cos{C}=\displaystyle \frac{5}{4}-\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \displaystyle \frac{3}{5-4\cos{A}}\) であり、これを整理すると \(5 (\cos{C}+\cos{A})=4(1+\cos{C} \cos{A}) \ \cdots (*)\) という関係式を得ることができます。 これを用いて各設問に挑んでいきます。 \(A=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) のときは \(\cos{A}=\displaystyle \frac{1}{2}\) で問題ないでしょう。 \(a\) , \(b\) , \(c\) がこの順で公差 0 以上の等差数列をなすことから \(c\) が最大辺 ということになり、 \(C\) が最大角 ということになります。 \(A+B=\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) であり、最大角 \(C\) が \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) ということなので、 \(A=B=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) となるしかありません。 したがって、 \(\cos{A}=\displaystyle \frac{1}{2}\) となります。 \(B=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) のときは \(A+C=\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) ということになります。 \((*)\) を利用するにあたって、和積公式・積和公式を用いることで \(5 \cos{\displaystyle \frac{C+A}{2}} \cos{\displaystyle \frac{C-A}{2}}=2+\cos{(C+A)}+\cos{(C-A)} \) というように \(C+A\) を登場させて捌けそうです。 \(C=\displaystyle \frac{2\pi}{3}\) と具体的に定まっているため \(5 (\cos{C}+\cos{A})=4(1+\cos{C} \cos{A}) \ \cdots (*)\) という関係式に代入すればよいでしょう。 \(5 (-\displaystyle \frac{1}{2}+\cos{A})=4(1-\displaystyle \frac{1}{2} \cos{A})\) となるため、 \(\cos{A}=\displaystyle \frac{13}{14}\) と即座に得られます。 \(C=2A\) という関係式があるのですが、これも \(5 (\cos{C}+\cos{A})=4(1+\cos{C} \cos{A}) \ \cdots (*)\) という関係式に代入すると \(5 (\cos{2A}+\cos{A})=4(1+\cos{2A} \cos{A}) \) となります。 \(\cos{2A}=2 \cos^{2}{A}-1\) という２倍角の公式を用いてやることで \(\cos{A}\) に関する３次方程式 が登場し、そこから導出できることが見込めます。 \(C=A+\displaystyle \frac{\pi}{3}\) ということで \(C-A=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) という関係式が手元にあるわけです。 そうなると今度は \(5 \cos{\displaystyle \frac{C+A}{2}} \cos{\displaystyle \frac{C-A}{2}}=2+\cos{(C+A)}+\cos{(C-A)} \) を用いた方がよさそうです。 これにより、 \(5 \cos{(A+\displaystyle \frac{\pi}{6})} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}=2+\cos{(2A+\displaystyle \frac{\pi}{3})}+\cos{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\) という関係式を得ます。 目がチカチカするのであれば \(\theta=A+\displaystyle \frac{\pi}{6}\) などと置いてしまえば、 \(\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2} \cos{\theta}=\displaystyle \frac{5}{2}+\cos{2\theta}\) と目に優しくなります。 この後は \(\cos{2\theta}=2 \cos^{2}{\theta}-1\) という２倍角の公式を用いて \(\cos{\theta}\) についての２次方程式に持ち込める という算段が付くでしょう。 三角形 \(\mathrm{ABC}\) の外接円の半径を \(R\) とすると、正弦定理から \(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\displaystyle \frac{b}{\sin{B}}=\displaystyle \frac{c}{\sin{C}}=2R\) ということになりますが、これは \(a : b : c=\sin{A} : \sin{B} : \sin{C}\) という連比を表します。 つまり、 \(a+c=2b\) という長さの情報は \(\sin{C}+\sin{A}=2 \sin{B}\) という角度の情報に持ち込めることが目論めるわけです。 この路線は【解２】で扱っています。 例題の解２の路線の一部分を訊いています。 誘導があるため、例題よりは幾分か楽です。 (2) が類する話題ですが、類題１と違いノーヒントです。 例題の【解２】の路線でいってもよいですが、ターゲットが \(\tan{\displaystyle \frac{A}{2}} \tan{\displaystyle \frac{C}{2}}\) という明確なものであれば、色々とっかかりが見えてきます。手元にある条件
(1) について
\(C=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) のとき
\(B=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) のとき
(2) について
(3) について
(4) について
路線２：正弦定理の活用
追記
類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
