組分け問題【区別のあるなし問題】【1999年度 立教大学ほか】

例題について

例題はこちら（再掲載）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

(1) について

例えば、

$(1人 \ , \ 1人 \ , \ 4 人)$ ,  $(1人 \ , \ 4人 \ , \ 1 人)$ ,  $(4人 \ , \ 1人 \ , \ 1 人)$

を

というようには数えません。

部屋に区別がないため、

と数えるわけです。

(2) について

今度は (1) と違い、

と数えます。

つまり、(1) で考えたものの並び替えが発生することになります。

(3) について

人にも部屋にも区別があります。

やはり区別があった方が考えやすいでしょう。

人にはゼッケンをつけてもらいましょう。

部屋は $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ ,  $\mathrm{C}$ と名前を付けます。

１番さんから６番さんまでの各々は $3$ 通りの選択肢がありますから、

$3^{6}$ 通り

の部屋割りが考えられます。

通常このまま $3^{6}$ 通りを答えとする問題もありますが、本問の場合は

空部屋の存在を許さない

という設定です。

そこで

というケースを $3^{6}$ 通りから除外することになります。

例題で鍛えてほしいのは考え方や数え方もそうですが、

何を１（い～ち）と数えるか

という把握力です。

何をどういった要領で数えるのかを把握する力（問題を把握する力）

という根本的な力がないと、場合の数や確率の分野は苦手なままです。

あぁ～、こういう趣旨でこういう要領で数えていけばいいのね

と判断した後に ${}_n \mathrm{ P }_k$ だの、${}_n \mathrm{ C }_k$ だのといった公式の運用が求められるわけです。

「聞けば分かる」と、「自分でできる」の差は、この問題把握力の部分でしょう。

この問題把握力をつけるためには、やはり手を動かして実験し、要領を掴むことです。

何が訊かれているか把握できるから、どう考えたらいいのかが判断できる

というのは当たり前なことですが大切です。

モデルケースを考えて要領を掴むというのは、様々な問題に対応するための根本的な態度であり、とてつもない力があるということを実感してください。

類題１について

類題１はこちら（再掲載）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

例題は人と部屋でしたが、玉と箱も同じことです。

先ほどと違うのは、今度は空箱が許されています。

空箱が許されることによる勝手の違いを例題と比較しましょう。

なお、(1) の

• 玉に区別なし
• 箱に区別なし

という問題が最も厄介です。

愚直に数え上げるしかないのですが、どうしても数式的に処理したいという方は

漸化式

という武器から迫る方法もあります。

ただ、数え上げる方が確実で早いため、別解とはせず、【総括】の中で触れておきました。

類題２について

類題２はこちら（再掲載）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

見た目は不定方程式の形をしていますが、

と考えると例題や類題のような

玉箱問題

となんら変わりません。

(2) が厄介で

$x \leq y \leq z$

という大小関係は言わば

$(1個 \ , \ 2個 \ , \ 3個)$  はカウントするが、$(1個 \ , \ 3個 \ , \ 2個)$  はカウントしない

みたいなことです。

つまり、玉も箱も区別なしということに他なりません。

類題１でも言いましたが、両方に区別がないのが一番厄介です。

この場合の対応については、経験がモノを言うところがありますが、基本方針は

区別がないから厄介 → じゃあ区別を与えよう

という発想で考えていきます。

類題３（腕試し用類題）について

類題３【腕試し用類題】はこちら（再掲載）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

類題２は

$x$ ,  $y$ ,  $z$ が正の整数

だったため、玉箱問題で言えば、

空箱が許されない

という状況でした。

最後の類題３のオチは「玉も箱も区別がない」という最も厄介なケースを空箱もありという状況で数えろという問題です。

玉も箱も区別がない場合は一般論でまとめることができないため、特殊なケースである $n=6m$ の場合が与えられていますが、このあたりでひとまず着地したいと思います。

なお、考え方自体は類題２と同じであるため、類題３については略解であることをご了承ください。

例題の解答はコチラ

類題１の解答はコチラ

類題２の解答はコチラ

類題３の解答はコチラ