積分方程式【変数型】【2019年度 広島大学ほか】

定積分で表された関数の微分

肝となるのは次の基本事項です

\(f\) の気持ちに立てば、

「積分されてから微分されているので、結果はそりゃ \(f(x)\)でしょ」

という感覚です。

この基本事項を活用するために、今回与えられた等式の両辺を \(x\) で微分することを考えます。

邪魔者を摘まみだす

ただ、被積分関数に積分変数である \(t\) 以外の文字が入っていると困りますから、\(x\) をインテグラルの外に摘まみだします。

今回は

\(f(x)=(1-x)\cos{x}+x\sin{x}-e^{x}\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\)

としてから、両辺を \(x\) で微分します。

\(e^{x}\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt\) の部分については、

\(e^{x}\)×( \(x\) の式 )

という構造です。

したがって、

\((e^{x})'\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt+e^{x}(\displaystyle \frac{d}{dx}\displaystyle \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt)\)

と、積の微分法により捌いていくことになります。

これにより、

\(f'(x)=2(x-1)\cos{x}\)

を得ることになります。

あとはこれを積分することで \(f(x)\) を Get します。

\(f(0)\) について

説明の順番が前後しましたが、(1) の \(f(0)\) を導出するためには

ことを考えるのが常套手段です。

今回は、最初に与えられた

\(f(x)=(1-x)\cos{x}+x\sin{x}-\displaystyle \int_{0}^{x}e^{x-t}f(t)dt\)

に \(x=0\) を代入すれば、\(f(0)=1\) を得ます。

この \(f(0)=1\) は、\(f'(x)=2(x-1)\cos{x}\)から \(f(x)\) を Get する際に登場する積分定数 \(C\) を決定するのに利用します。

類題について

類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

例題よりは手数が多くなり、集中力が必要ですが大まかな流れや着眼点は例題と同様です。

類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

邪魔者を摘まみだしたいわけですが、これまでと違い、邪魔者が \(f\) の奥深くにいます。

この部分をどうするかというのが本問の山場の一つです。

その山場を超えても、その後ノーヒントでの微分方程式が待ち構えています。

ノーヒントに次ぐノーヒントであり、いずれも経験がモノを言う側面が大きい山場です。

微分方程式については

も参考にしてみてください。

例題の解答はコチラ

類題１の解答はコチラ

類題２の解答はコチラ