幾何・座標・ベクトル【解法の選択】

路線１：ベクトル

見た目通りベクトルの問題として捌いていくことを考えてみます。

まず、３点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) に注目し、正三角形 \(\mathrm{ABC}\) をベースに

という図で考えたいと思います。

最初に大切なことなのですが、

• 本問において、\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の大きさは結果に影響しない

ということ、つまり

形だけが問題である

ということを看破しましょう。

サイズが関係ないのであれば、考えやすいサイズである一辺の長さが \(1\) の正三角形で考えて差し支えないでしょう。

線分 \(\mathrm{AP}\) ,  \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{Q}\) とすると

\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=(1-p) \overrightarrow{\mathrm{AB}}+p \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

と、容易に \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) が Get できることから、

\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k \overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)

というように、\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を伸ばして \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) を Get する方向性で考えていきます。

この「うまい」倍率 \(k\) をどのように求めるかですが、

• 点 \(\mathrm{P}\) がこの円に乗っかるようなうまい倍率 \(k\)

と捉えて、

\(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=半径\)

という条件から \(k\) を特定します。

そのためには、\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) の外接円半径が必要ですが、それについては正弦定理で調達すればよいでしょう。

この路線は【解１】で扱っています。

路線２：幾何

路線１同様、

\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k \overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)

として、うまい倍率 \(k\) を特定していく方針を考えていきます。

この \(k\) を求める際の翻訳の仕方を幾何的に考えてみます。

点 \(\mathrm{P}\) がこの円上にあることの幾何的な翻訳は様々ありますが、

\(\mathrm{AQ}\) の長さが余弦定理で求まることを考えると、

方べきの定理

で \(\mathrm{QP}\) の長さが求められますから、欲しい倍率も求まることになります。

これについては【解２】で扱っています。

路線３：座標

座標を設定するのも一つの手です。

ただし座標の場合、

のように、むやみやたらに貼り付けても自分で自分の首を絞めるだけです。

この例は少々極端ですが、

と貼り付ける人もいます。

別にこれでもできないことはないでしょうが、今回考える \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) というのは

始点が \(\mathrm{A}\)

です。

そう考えると、始点が原点にあった方が考えやすいでしょう。

つまり、

というように貼り付ける方が良さそうです。

また、冒頭述べたサイズについては、\(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) の数値設定上無駄な分数を登場させなくて済むので、今度は一辺の長さが \(2\) となるように設定しておいた方がよさそうです。

路線１、路線２同様、点 \(\mathrm{P}\) がこの円の上にあることをどのように翻訳するかですが、座標でやる以上

円の方程式

を Get しようとするのが自然でしょうか。

\(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) という３点を通る円として考えてもいいですが、\(\triangle{\mathrm{ABC}}\) が正三角形なのであれば

外心と重心は一致する

ということを考えれば、重心の座標を出せば、外心の座標も Get でき、中心の座標と半径が同時に手に入ります。

この路線は【解３】で扱っています。

その他の問題

今回のように、図形の問題は

幾何・座標・ベクトル・複素数平面

といった複数の解法選択が考えられます。

どの分野の問題として捌いていくかを考える訓練として

などもありますので、よければご活用ください。

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