三角形の内角のtanの和【1966年度 金沢大学】

１文字消去

ひとまず

\(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)

という三角形の内角に関する等式から

\(\gamma=\pi-(\alpha+\beta)\)

と１文字消去をするのが普通でしょうか。

ここからの路線としては２路線あります。

路線１：対称性を活かす

ということが言えます。

これについては割と有名な性質です。

もちろん、指導者ではない受験生からしてみれば

「そんなもん知るか」

という人の方が多数だとは思います。

ただ、

$$\begin{eqnarray}
\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma} &=& \tan{\alpha}+\tan{\beta}-\tan{(\alpha+\beta)} \\
&=& \tan{\alpha}+\tan{\beta}-\displaystyle \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}
\end{eqnarray}$$

と加法定理でバラした際、

\(\tan{\alpha}+\tan{\beta}\) で括れる

ことに目を付けて式変形をしていくと、

\(\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}=\tan{\alpha}\tan{\beta}\tan{\gamma}\)

まで辿り着くのは無理がないはずです。

ただし、一度消去した \(\gamma\) を復活させることになりますから、どちらかというと

文字消去よりも対称性を優先した態度に切り替えた

という感じの路線です。

これについては【解１】で扱っています。

路線２：予選決勝法

\(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  \(\gamma\) という３変数段階ではこの３変数は

\(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)

を満たす従属３変数です。

ただ、

\(\gamma=\pi-(\alpha+\beta)\)

と文字消去して残る \(\alpha\) ,  \(\beta\) については独立に動ける独立２変数となります。

そこで独立２変数関数の最大最小問題の有力手段である

• 予選決勝法

で仕留めることもできます。

これついては【解２】で扱っています。

三角関数や微分分野の足腰が強くないと、押し切るのは中々難しいでしょう。

解答はコチラ