実践演習 極限・微分積分系

縮小関数による漸化式の極限【関数によって定まる数列の極限】【1994年度 筑波大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

縮小関数による漸化式の極限という、難関大ではちょこちょこ出題されるテーマです。

もし、初見であれば、まずは初見でやってみてください。

(以下ネタバレ注意)

 

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

縮小関数による漸化式の極限のキーワード

①:\(f'\) の範囲 ( 最大・最小 )

②:\(f(x)=x\)  (不動点の存在)

③:\(a_{n+1}=f(a_{n})\) という漸化式

オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と②の不動点をうまく活用する形で平均値の定理を利用します。

大抵、①の最大値は 1 未満であり、②の不動点を \(\alpha\) として

$$|a_{n+1}-\alpha| \leq r|a_{n}-\alpha|  \  \  (0\lt r\lt 1)$$

の形に持ち込むのが流れです。

ちなみに、\(a\leq x\leq b\) 内の任意の \(p , q\) に対して、

\(|f(p)-f(q)| \leq k|p-q|\) ( \(k\) はある正の定数 )

となる不等式を満たすとき、\(f(x)\) はリプシッツ連続であると言われます。

一つのストーリーとして、あらすじや流れを確認しておきたい問題です。

リプシッツ連続については

参考リプシッツ連続【全称命題とその運用】【2004年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 必ず成り立つ不等式を文字通り絶対不等式と言います。 本問はある程度の演習をこなしている人からすると、あるものがインスピレーションされると ...

続きを見る

も参考にしてみてください。

解答はコチラ

-実践演習, 極限・微分積分系
-

© 2022 MathClinic