場合の数・確率系 実践演習

確率と区分求積法【2019年度 兵庫県立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

確率の問題をベースに、極限計算の運用を見る問題です。

ひとまずは確率そのものを計算できるかどうかという部分が問われます。

ひとたび確率が計算出来たら、今度は数学Ⅲの極限の話題です。

一問で様々な基本を試す標準的な問題で、難関大受験生にとってはこういうレベルの問題をキッチリと確保したいところです。

(以下ネタバレ注意)

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例題について

例題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

(1) について

ひとまずは

結局具体的にどんな現象が起こればよいのか

ということを噛み砕いてとらえることが大切です。

この問題のルールは

  • 毎回赤玉が1個ずつ追加される

という単純なものです。

\(k\) 回目の抽出時には袋の中には

  • \(n+k\) 個の赤玉
  • \(1\) 個の白玉

が入っている状態です。

この状態において赤を取り出す確率は、もちろん

\(\displaystyle \frac{n+k}{n+k+1}\)

です。

白玉を1回も取り出さないということは

  • 毎回赤玉を取り出す

ということに他ならず、求める確率は

\(\displaystyle \frac{n+1}{n+2} \cdot \displaystyle \frac{n+2}{n+3} \cdot \cdots \cdot \displaystyle \frac{n+n}{n+n+1}\)

ということになりますが、約分が起こり、結局は

\(\displaystyle \frac{n+1}{2n+1}\)

ということになります。

(2) について

1回だけ出てくる白玉が

1回目に取ったものなのか、2回目に取ったものなのか \(\cdots\)

ということを考えて、それらをシグマしていけばよいでしょう。

一般に \(k\) 回目に最初の白玉を取るということは

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
1 回目 ~ k-1 回目までは赤玉を取る\\
k 回目には白玉を取る\\
k+1回目 ~ n 回目までは赤玉を取る
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

ということです。

こうなる確率は

\(\displaystyle \frac{n+1}{n+2} \cdot \displaystyle \frac{n+2}{n+3} \cdot \cdots \cdot \displaystyle \frac{n+k-1}{n+k} \cdot \displaystyle \frac{1}{n+k+1} \cdot \displaystyle \frac{n+k+1}{n+k+2} \cdot \cdots \cdot \displaystyle \frac{n+n}{n+n+1}\)

ということになり、約分で生き残る項に注意すると

\(\displaystyle \frac{n+1}{(n+k)(2n+1)}\)

ということになります。

これより、題意の \(q_{n}\) は

\(q_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{n+1}{(n+k)(2n+1)}\)

ということになります。

シグマの変数 \(k\) に関係のない部分は摘まみだして整理すると

\(q_{n}=\displaystyle \frac{n+1}{2n+1} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{n+k}\)

となります。

この極限を考えるにあたっては、形から区分求積法を狙いたくなるはずです。

そこで、

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{1}{n+k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{k}{n}}\)

と見れれば勝負ありで、区分求積法で仕留める算段が付きます。

類題について

類題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

例題同様、ひとまずは (1) で考えることになる \(P(N \ , \ k)\) をきちんと導出できるかが山場です。

(2) については (1) が導出できれば、「区分求積法を用いて求めよ」という方針まで明示してくれているため、名古屋大受験生からすればボーナス的な問題(のはず)です。

(1) は例題同様、バンバン約分が狙える形が登場しますが、

  • 下手に約分すると、何個の掛け算なのかを見失い混乱しかねない

という要素もあり、力みすぎるとファンブルしかねません。

なめずに取り組んでみてください。

類題2について

類題2はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題1の復習用問題です。

こうしてみると、他大学の過去問演習も無駄ではないと思えてきます。

まとめ

元々は区分求積法は、昔の人にとっては面積を求めるための方法でした。(取り尽くし法)

昔の人にとって、面積を求めるということは、極限値を計算することに等しかったわけです。

微分法・積分法が体系化された今、面積を求めるにあたっては積分計算によって求めるのが主流となりました。

極限を計算することと、面積計算することが結びついた結果、区分求積法は

  • 積分計算することによって極限値を求めるための手法

ということになったわけです。

それによって、極限を計算する手立てが増え、本問のように確率などの極限計算に応用できるわけですから、積分法が確立していなかったらと思うとゾッとしますし、これらを確立した数学者の偉大さを感じますね。

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