実践演習 方程式・不等式・関数系

直交2接線の交点の軌跡【楕円の準円】【2011年度 信州大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

楕円の準円と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、出典を挙げていくとキリがありません。

具体的な数値の場合も含めると多くの大学で出題されている問題ですが、今回は一般論でもってきました。

具体的な数字でも計算は割と大変なのですが、今回のように一般的に文字で処理するとなると、強靭な計算力と集中力が必要です。

難関大を目指すにあたっては一度は経験しておきたい話題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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通常接線の問題では、

多くの接線問題の方針

接点の設定→接線の立式→通過点条件

という流れで処理していくことが普通です。

特に微分を頼りにしながら上の流れで処理していくことが多いのですが、その方針でやってみると計算が大変になり、収拾がつかなくなる可能性が大きくなります。

相手が楕円という2次曲線なので、今回は

通過点と傾きの設定→直線の式を立式→連立して判別式

という流れで処理していきます。

その際「ある工夫」ができるかどうかで、体感の計算量が変わってきます。

今回話題になっているのは次の事実です。

楕円の準円

楕円 \(C:\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\displaystyle \frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) に対して、直交する2接線の交点 \(P\) の軌跡は

\(x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}\)

用意した解答は

【解1】:傾きを設定して、判別式によって接することを翻訳する方針

【解2】:【解1】において計算上の工夫をした方針

【解3】:(少々天下り的だが)接点を設定し、接線の式を立式して処理する方針

というものです。

有名問題なので、経験した状態でこの問題に遭遇した場合は【解2】もしくは【解3】という工夫や経験に頼った解法で処理しきりたいところです。

そのためにも一度は【解1】で苦労しておくことは大事でしょう。

放物線においても同様の問題があり、それについては

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で取り扱っていますので、適宜ご利用ください。

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