実践演習 数列系

格子点の個数についての基本【2014年度 中央大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

\(x\) 座標と \(y\) 座標がともに整数であるような点を「格子点」と言います。

領域が与えられて、その領域内の格子点の個数を数え上げる問題は定番のテーマです。

格子点の個数を数える基本

 

\(x=1\) 上の格子点が \(a_{1}\) 個

\(x=2\) 上の格子点が \(a_{2}\) 個

\( \  \  \  \  \ \  \vdots\)

と数えていき、全て足し合わせればよいわけです。

つまり、\(x=k\) で切り、その上にある格子点の個数を \(a_{k}\) 個としたとき、

\(\displaystyle \sum_{k=○}^{□}a_{k}\)

と \(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ } \ \) 計算によって仕留めます。

もちろん、場合によっては

 

というように、横で切って、\(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ } \ \) するという方針もあります。

例題は、今回の話題を扱うにあたり、「The 例題」と言ってもよい典型的な標準レベルの問題です。

類題1

類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

最後のシグマ計算の味付けが違うだけで、基本的な流れやシナリオは同じです。

類題2

類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

グラフが有名人ではありませんが、怯まないようにしましょう。

最後のシグマ計算は、いわゆる「(等差)×(等比)型」と呼ばれる形のシグマ計算になります。

  • 公比をかけてズラす(カケズラ)

という定番の処理です。

 

シグマ計算そのものについて

格子点の個数の数え上げにあたっては最後はシグマ計算になります。

そのため、シグマ計算についてはある程度習熟している必要があるでしょう。

シグマ計算の足固めについては

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