実践演習 整数系

単位分数の和【エジプト式分数】【2006年度 富山大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

自然数の逆数からなる有理数を「単位分数」といい、異なる単位分数の和として表現した分数を「エジプト(式)分数」と言います。

本問は、

  • 2項からなるエジプト分数の最大値が \(\displaystyle \frac{5}{6}\)
  • 3項からなるエジプト分数の最大値が\(\displaystyle \frac{41}{42}\)

ということを証明せよという問題です。

表向きは入試標準的な整数問題ですが、古くから様々なことが研究されており、奥が深い話題です。

例題を皮切りに

  • 例題の一般化である「カーティスの定理」
  • エジプト分数表示するための手順である「フィボナッチ・シルベスターのアルゴリズム」

についても触れてあります。

(以下ネタバレ注意)

 

+ クリック(タップ)して続きを読む

(1) について

\(a=1\) だと \(\displaystyle \frac{1}{a}\) 単品で \(1\) となってしまいます。

なので、\(a \geq 2\) ということになり、それに伴い \(b \geq 3\) となります。

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\displaystyle \frac{1}{b}\) を大きくしようと思うと

  • 分母は小さくするのが最善

ということになります。

よって、\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}\) である \(\displaystyle \frac{5}{6}\) が最大値であることになります。

(2) について

3項ありますが、一つずつ追いかけていきましょう。

\(a\) について

(1) 同様に \(a \geq 2\) ということが分かりますから、ひとまずは

\(a=2\)

とするのが最善でしょう。

\(a \geq 3\) とすると、

\(\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{5}=\displaystyle \frac{47}{60} \lt \displaystyle \frac{41}{42}\)

となり、最善を尽くして分母を小さくしても、\(\displaystyle \frac{41}{42}\) に届きません。

\(b\) ,  \(c\)  について

次に \(b\) ですが、やはり \(b=3\) とするのが最善でしょう。

この時点で、

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{5}{6}\)

ですから、\(c\) がそのまま \(c=4\) となれるかどうかを確かめる必要があります。

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{c} \lt 1\)

ですから、これを整理すると

\(\displaystyle \frac{1}{c} \lt \displaystyle \frac{1}{6}\)

すなわち

\(c \gt 6\)

となりますので、\(c\) の最善は

\(c=7\)

ということになります。

このとき、

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{7}=\displaystyle \frac{41}{42}\)

となります。

ちなみに \(b \geq 4\) のときは

\(a=2\) ,  \(b=4\) ,  \(c=5\)

と最善を尽くしても

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{4}+\displaystyle \frac{1}{5}=\displaystyle \frac{19}{20} \lt \displaystyle \frac{41}{42}\)

となり、\(\displaystyle \frac{41}{42}\) に届きません。

本問の結果を拡張すると

1未満の正の有理数を4項の単位分数の和に分割したときに考えられる最大値について検証してみます。

3項のとき \(a\) ,  \(b\) という前 2 つは (1) の最善策

\(a=2\) ,  \(b=3\)

とできました。

同様に、4項であれば、 \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) という前半 3 つは (2) の最善策

\(a=2\) ,  \(b=3\) ,  \(c=7\)

とするのがよいわけです。

(証明は端折りますが、この場合の具体例は筋が悪くとも多少の根性があれば証明できます。)

残る \(d\) については

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{7}+\displaystyle \frac{1}{d} \lt 1\)

を解くと

\(d \gt 42\)

を得ます。

つまり、\(d=43\) とするのが最善で

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{7}+\displaystyle \frac{1}{43}=\displaystyle \frac{1805}{1806}\)

が最大ということになります。

項数5、項数6、\(\cdots\) としていったときも同様の手法でエジプト式分数の最大値を求めることができます。

これは

  • カーティスの定理

と言われています。

関連参考問題について(フィボナッチ・シルベスターのアルゴリズム)

関連参考問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

項数に拘らなければ、

  • 任意の 1 未満の正の有理数は異なる単位分数の和に分割できる(エジプト式分数分解できる)

ということを証明させる問題です。

本問は

「フィボナッチ・シルベスターのアルゴリズム」

と呼ばれる手法に関する誘導がついています。

これは

  • ターゲットを隣接単位分数で挟み、その誤差をとる

というアルゴリズムを繰り返すものです。

詳しくは解答PDFをご覧ください。

例題の解答はコチラ

関連参考問題はコチラ

-実践演習, 整数系
-

© 2022 MathClinic