整数系

2022/8/23

素数が存在する区間【ベルトラン・チェビシェフの定理】【1997年度 京都教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 以前、 の記事の中で、素数が存在しない区間(素数砂漠)について触れましたが、本問は素数が存在する区間について考える問題です。 本問も素数の階乗について扱っていますので、併せて見ると繋がりが感じられると思います。 本問は誘導が付いているため、問題を解くこと自体は特に無茶苦茶な要求ではありません。 むしろ、(2) のオチの結果は割とガバガバな結果で、 \(n!\) は \(n\) に比べてかなり大きいから、そりゃそうでしょうね と、感覚的にも納得 ...

2022/10/2

素数の階乗【ウィルソンの定理】【素数砂漠】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 素数の階乗を用いた興味深い性質について見ていきます。 問題のオチは素数が無限に存在するということの証明で、この事実の証明自体は で扱っていますが、アプローチは素数の階乗を用いたものです。 上の記事は素数の積を用いたアプローチですが、本問は \(p!\) を用いたものです。 まぁ、\(p!\) の因数の中には \(p\) 以下の素数が全て入っていますから、基本的に全く別のことをやっているというわけではないでしょう。 (以下ネタバレ注意) &nb ...

2022/8/3

連続する累乗数【ミハイレスクの定理】【2018年度 東北大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) \(3\) の累乗数と \(2\) の累乗数で連続するものを考えるという問題です。 \(3^{1}\) と \(2^{1}\) というのはほぼ自明な解ですが、その他はどうでしょうかということがこの問題の趣旨です。 1844年にカタランという数学者によって カタラン予想 \(x\) ,  \(y\) ,  \(m\) ,  \(n\) を \(1\) より大きい整数とするとき \(x^{m}-y^{n}=1\) を満たす \(x\) ,  \( ...

2022/6/12

整数値多項式【整数を代入したら整数が返ってくる多項式】【2013年度 中央大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 整数を代入したら、整数の値が返ってくるような多項式について扱います。 以下では便宜上、類題2で名付けられている 整数値多項式 という名称で以下呼ばせていただきます。 ここで扱うのは多項式の有名な性質の1つであり、しばしばネタにされる話題です。 色々訊かれることはありますが、その中で今回の話題を学ぶにあたり素直に訊 ...

2022/4/24

不定方程式の難良問【2007年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 与えられた \(p\) という文字を使ってよい中で、条件を満たす整数 \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) ,  \(d\) を求めるという不定方程式の問題です。 試行錯誤的にやってみたら解けた 戦略をもって見通しをもちながら解けた そもそも手も足もでなかった という3タイプに分かれると思います。 試験場においては、解けたもん勝ちという側面が強いですが、普段の学習においては爪がひっかかる部分をどのように見出していくか目を光らせる訓練 ...

2022/4/18

3乗和と素数の累乗【1984年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「素数の整数乗になる」という日本語で訊かれていますが、 \(p\) を素数、\(n\) を整数として \(a^{3}+b^{3}=p^{n}\) を満たす正の整数 \(a\) ,  \(b\) を全て求めよ。 という問題です。 明らかに誘導めいた (1) という設問はありますが、その誘導のありがたみを感じるためには薄皮一枚剥ぐ必要があります。 これが薄皮に感じるか、分厚い皮に感じるかという問題でしょう。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タ ...

2022/4/2

3文字の基本対称式と最大公約数【2022年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3文字の基本対称式に関する最大公約数について考える問題で、見た目のインパクトが大きい問題です。 2文字の基本対称式についての 有名事実 正の整数 \(p\) ,  \(q\) に対して \(p+q\) ,  \(pq\) が互いに素  \(\Leftrightarrow\)  \(p\) ,  \(q\) が互いに素 という事実の、3文字への拡張ということになります。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む ...

2022/1/22

素数に関する不定方程式【2019年度 同志社大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 不定方程式(文字の数に対して式の数が少ない方程式)の中でも少々対応力が問われる問題です。 誘導の活用力も問われます。 試験場のつもりで取り組んでみると、いい模擬訓練になるでしょう。 恐らく出題者側はある程度のレールを敷き、誘導を付けて無理のない範囲で仕立てようとしたのでしょうが、多分出題者側が期待しているように受験生は中々動いてくれないのが現状だと思います。 用いている基本事項は全て整数問題においては常套手段の一つなのですが、「100m先から ...

2022/1/19

格子点同士を結ぶ2線分のなす角度【2004年度 一橋大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 格子点同士を結ぶ2つの線分のなす角について考察する問題です。 例題は実戦要素が強く、 2直線のなす角の扱い 整数問題の捌き方 が問われてきます。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 座標平面上での角度の処理 \(\angle{\mathrm{BAC}}\) という座標平面上で角度を扱おうと思うと 座標における角度の扱い ベクトルの内積を用いて \(\cos{ \ }\) として処理する 傾きと \(\tan{ \ }\ ...

2022/1/14

素数が無限に存在することの証明【1973年度 大阪歯科大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 素数が無限に存在することは紀元前から分かっていたことです。 ユークリッドの有名な数学書である原論での証明が有名で、歴史的内容を含む問題であり、思考力を試すというよりは、教養的側面の強い話題です。 現在、様々な証明法が知れ渡っていますが、ここではユークリッドの考えを基にした背理法による証明と、2006年に発表されたフィリップ・サイダック氏による証明を紹介します。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 背理法による証明 以下 ...

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