テーマ別演習 フィボナッチ数列とリュカ数列

フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

関連問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。

古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。

細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。

一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。

シリーズ一覧

フィボナッチ数列とリュカ数列 第1講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第1講はフィボナッ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第2講は リュカ数 ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関連問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第5講【カッシーニ・シムソンの定理】【1985年度 広島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第6講【フィボナッチ数列の加法定理】【1986年度 中央大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第6講では、フィボ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第7講【シューブの公式】

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第3講では、フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係について見ていきます。

例題では、フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係を表す連立漸化式について見ていき、関連問題では一般項同士の関係式を見ていきます。

(以下ネタバレ注意)

 

 

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例題について

例題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

(1) について

\(p_{n+1}\) ,  \(q_{n+1}\) を考えるにあたり、\({\alpha}^{n+1}\) を考えることになります。

もちろん、番号を下げて \(p_{n}\) ,  \(q_{n}\) との関連を探るにあたっては

\({\alpha}^{n+1}={\alpha}\cdot {\alpha}^{n}\)

と見て、左辺と右辺を見比べていきます。

\(\displaystyle \frac {p_{n+1}+q_{n+1}\sqrt{5}}{2}=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2} \cdot \displaystyle \frac {p_{n}+q_{n}\sqrt{5}}{2}\)

であり、これを整理すると

\(p_{n+1}+q_{n+1}\sqrt{5}=\displaystyle \frac {p_{n}+5q_{n}}{2}+\displaystyle \frac {p_{n}+q_{n}}{2} \sqrt{5}\)

となります。

一般に

\(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) ,  \(d\) が有理数、\(u\) が無理数であるとき

\(a+bu=c+du \Leftrightarrow a=c かつ b=d\)

ということが言えるため、

  • \(p_{n+1}=\displaystyle \frac {p_{n}+5q_{n}}{2}\)
  • \(q_{n+1}=\displaystyle \frac {p_{n}+q_{n}}{2}\)

が成り立ち、題意が示されます。

(2) について

\(p_{n}\) に関する漸化式が欲しいため、(1) で得た連立漸化式から \(q_{n}\) 側に消えていただくことを考えます。

(3) について

符号違いの \(\beta=\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2}\) に対して、\({\beta}^{n}\) が同じ \(p_{n}\) ,  \(q_{n}\) を用いて

\({\beta}^{n}=\displaystyle \frac {p_{n}-q_{n}\sqrt{5}}{2}\)

と表せることを証明する問題です。

\(p_{n}\) ,  \(q_{n}\) に関する漸化式が手元にあるため、数学的帰納法で示すのが自然でしょう。

(4) について

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
{\alpha}^{n}=\displaystyle \frac {1}{2}p_{n}+\displaystyle \frac {\sqrt{5}}{2}q_{n} \\
{\beta}^{n}=\displaystyle \frac {1}{2}p_{n}-\displaystyle \frac {\sqrt{5}}{2}q_{n}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という2式が手元にありますから、\(p_{n}\) を \(\alpha\) ,  \(\beta\) で表したければ、辺々加えて \(q_{n}\) を消去すれば

\(p_{n}={\alpha}^{n}+{\beta}^{n}\)

と、解決します。

振り返ってみると

\(\alpha=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) ,  \({\alpha}^{2}=\displaystyle \frac {3+\sqrt{5}}{2}\)

ですから、今回の数列 \(\{p_{n}\}\) は

  • \(p_{1}=1\)
  • \(p_{2}=3\)
  • \(p_{n+2}=p_{n+1}+p_{n}\)

を満たすため、リュカ数列ということになります。

なお、(2) では \(q_{n}\) 側を消去することで

\(p_{n+2}=p_{n+1}+p_{n}\)

を得ましたが、(1) の連立漸化式から \(p_{n}\) 側を消去することで、同様に

\(q_{n+2}=q_{n+1}+q_{n}\)

も得ることができます。

さらに、\(\sqrt{5}\) の係数に注目すれば

  • \(q_{1}=1\)
  • \(q_{2}=1\)
  • \(q_{n+2}=q_{n+1}+q_{n}\)

を満たすため、数列 \(\{q_{n}\}\) はフィボナッチ数列ということになります。

このように、黄金数 \(\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) を \(n\) 乗したときの係数がフィボナッチ数列、リュカ数列と繋がっていることになります。

関連問題について

関連問題はこちら(再掲)(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今度は一般項同士に関する相互関係についての有名事実を見てみます。

(1) について

フィボナッチ数列を一つ置きに足すと、リュカ数列となっているという不思議な関係式です。

証明自体は数学的帰納法でアッサリ終わりますが、仮に入試問題だとして試験場を想定すると、記述面で若干気を遣わなければならない場面が出てきます。

(2) について

\(\alpha=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) ,  \(\beta=\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2}\) として、フィボナッチ数列、リュカ数列の一般項がそれぞれ

  • \(F_{n}=\displaystyle \frac {1}{\sqrt{5}}({\alpha}^{n}-{\beta}^{n})\)
  • \(L_{n}={\alpha}^{n}+{\beta}^{n}\)

であることから、それぞれ積をとってみると、ほぼ一撃で題意が示せます。

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