テーマ別演習 フィボナッチ数列とリュカ数列

フィボナッチ数列とリュカ数列 第1講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。

古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。

細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。

一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。

シリーズ一覧

フィボナッチ数列とリュカ数列 第1講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第2講は リュカ数 ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関連問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っ ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第5講【カッシーニ・シムソンの定理】【1985年度 広島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第6講【フィボナッチ数列の加法定理】【1986年度 中央大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第6講では、フィボ ...

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第1講はフィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)と黄金比、及びフィボナッチ数列の和について扱います。

まずはきちんと導出できるかどうかを確認してみましょう。

(以下ネタバレ注意)

+ クリック(タップ)して続きを読む

フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列

  • \(a_{1}=1\) ,  \(a_{2}=1\) ,  \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

で与えられる数列をフィボナッチ数列と言い、この数列に現れる数をフィボナッチ数と言います。

フィボナッチはレオナルドという数学者のニックネームだと言われています。元々はウサギの繁殖に関する問題を考えるにあたりこの数列を考えています。

この時代にはあまり特別なものと思われていませんでしたが、後に段々数学者たちの興味をひくようになっていきます。

フィボナッチ数列と名付けたのはエデュアール・リュカという人物で、フィボナッチ数列と類似する数列であり、一般化したリュカ数列を考案しました。

リュカ数列については今後扱っていきます。

フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)

フィボナッチ数を具体的に書き出すと

  • \(1\) ,  \(1\) ,  \(2\) ,  \(3\) ,  \(5\) ,  \(8\) ,  \(13\) ,  \(\cdots\)

となります。

  • 前の2つを加えて次の項にする

という至極単純な操作で得られるフィボナッチ数列ですが、当然気になるのは、

  • 一般的に \(n\) 番目のフィボナッチ数は何なんだ

という一般項の正体です。

これについては、当然元となる漸化式

\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

という隣接3項間漸化式を解くことで得られます。

隣接3項間漸化式を解くこと自体は

漸化式の基本パターン

漸化式の解法基本パターン 第1講【2項間漸化式:ズラせば等比数列】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 漸化式は問題を解く中で処理しなければならない場面が多々あります。 確率漸化式などの確率や場合の数の分野との融合 点列など、座標との融合 整数問題との融合 など、漸化式は道具として使う場面が多々あります。 漸化式が立式できても、それが解けないとなると意味がありませんから、基本的な漸化式についてはきちんと処理できる必要があります。 そこで基本的な漸化式について一通りこのシリーズで押さえておきたいと思います このシリーズの一覧はこちら   ...

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漸化式の解法基本パターン 第2講【2項間漸化式:心霊写真型】

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漸化式の解法基本パターン 第3講【2項間漸化式:分数型】

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漸化式の解法基本パターン 第5講【2項間漸化式:そうだ、logをとろう型】

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漸化式の解法基本パターン 第7講【隣接3項間漸化式への対応】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら   第7講では3項間漸化式を扱います。 3項間漸化式 $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$$ この3項間漸化式の狙い筋は 狙い筋 $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$$ という形に変形することで、等比数列の形として処理することです。 つまり、 \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1 ...

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漸化式の解法基本パターン 第8講【2種類の連立漸化式への対応】

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の第7講で取り扱っています。

本問の詳しい導出過程については解答 PDF をご覧ください。

フィボナッチ数列の一般項は

ビネの公式

  • \(a_{n}=\displaystyle \frac {1}{\sqrt{5}}\{(\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2})^{n}\}\)

という形で与えられ、ビネの公式と呼ばれています。

※ビネは発見者というわけではなく、それ以前にド・モアブルやオイラーなどによっても導かれているそうです。

フィボナッチ数列の一般項に現れる

\(\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\)

は見た目は汚い無理数に見えますが、黄金数と呼ばれる数学的には調和のとれた美しい数です。

黄金比、黄金数については

\(18^{\circ}\) 絡みの三角比

18°絡みの三角比 第1講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】

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18°絡みの三角比 第2講【正五角形の利用】【1997年度 岐阜大学】

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18°絡みの三角比 第3講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

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18°絡みの三角比 第4講【1の5乗根の利用】【1997年度 金沢大学ほか】

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で扱っています。

フィボナッチ数列の和

高校で学習する数列という単元的には、一般項が導出できたのであれば、次は初項から第 \(n\) 項までの和が気になります。

今回のフィボナッチ数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_{n}\) は

  • \(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\displaystyle \frac {1}{\sqrt{5}}\{(\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2})^{k}-(\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2})^{k}\}\)

ということになり、形はイカツイですが、結局は等比数列の和ということになります。

詳しい計算結果は解答 PDF を確認してください。

フィボナッチ数列 \(\{a_{n}\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和については

  • \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{n+2}-1\)

という関係式が成り立ちます。

隣接2講の比

\(\alpha=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) ,  \(\beta=\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2}\) とすると

\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle \frac {{\alpha}^{n+1}-{\beta}^{n+1}}{{\alpha}^{n}-{\beta}^{n}}\)

となります。

\(\beta=0.***\cdots\) なので、\(n\) が十分大きいとき \({\beta}^{n}\) ,  \({\beta}^{n+1}\) はほとんど無視できますから、感覚的には

  • \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\alpha=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\)

となります。

記述上は

\(\displaystyle \frac {{\alpha}^{n+1}\{1-(\displaystyle \frac {\beta}{\alpha})^{n+1}\}}{{\alpha}^{n}\{1-(\displaystyle \frac {\beta}{\alpha})^{n}\}}\)

というように、

強きもので括る

という態度で記述すればよいでしょう。

なお、

  • \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\)

という結果は、隣接2項の比が黄金数に収束するという、興味深い結果を示しています。

解答はコチラ

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