チェビシェフの多項式 テーマ別演習

チェビシェフの多項式 第5講【変形チェビシェフの多項式】【2004年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。

初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。

今回は第5弾です。

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チェビシェフの多項式 第1講【第1種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら   まず、 \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) のことを(第1種)チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...

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チェビシェフの多項式 第2講【チェビシェフの多項式が満たす漸化式】【2015年度 千葉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第2弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回はチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) が満たす漸化式について考えます。 チェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) は チェビシェフの多項式が満たす漸化式 $$ ...

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チェビシェフの多項式 第3講【第2種チェビシェフの多項式】【1996年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第3弾です。 このシリーズのまとめはこちら 前回までに \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\) について考えてきました。 じゃあ \(\sin{n ...

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チェビシェフの多項式 第4講【チェビシェフの多項式のグラフの特徴】【1997年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第4弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回のテーマは \(y=T_{n}(x)\) のグラフの特徴です。 本問は前回までと違って \(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) といったよう ...

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チェビシェフの多項式 第5講【変形チェビシェフの多項式】【2004年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第5弾です。 このシリーズのまとめはこちら   これまでのチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) と似ていますが、\(\cos{n\theta}\) ではなく、\(2\cos{n\theta}\) や、\( ...

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チェビシェフの多項式 第6講【変形チェビシェフの多項式のグラフ】【2004年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第6弾です。 このシリーズのまとめはこちら     背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。   (以下ネタバレ注意)   + クリ ...

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チェビシェフの多項式 第7講【ミニマックス原理との関連】【1977年度岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第7弾です。 【前回までの内容】   今回はミニマックス原理というものが背景にある問題を扱います。 一連の流れが非常に独特です。 誘導があるならともかく、誘導なしの場合、初見で対応するのはかなり難しいと思います。 ...

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これまでのチェビシェフの多項式 \(T_{n}(x)\) と似ていますが、\(\cos{n\theta}\) ではなく、\(2\cos{n\theta}\) や、\(f_{n}(2\cos{\theta})\) など係数が2となっています。

誘導にきちんと乗ることができれば、背景的なものを抜きにしても対応できると思います。

 

(以下ネタバレ注意)

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(1) はここまでこのシリーズを学習してきた方であれば当然数学的帰納法を選択できるはずです。

決め手もおなじみの積和公式です。

(2) もこの流れで \(x=2\cos{\theta}\) とする置換積分が思いつかない方がどうかしています。

(『チェビシェフの多項式2』で、似たようなチェビシェフの多項式絡みの積分を扱いましたね。)

置換積分の際、積分区間で \(\alpha\) などと自分で未知数を設定することになります。

通常こういった \(\alpha\) は求められないことの方が多いのですが、今回は \(x_{n}=2\cos{\alpha}\) で、\(f_{n}(x_{n})=0\) であることから \(f_{n}(2\cos{\alpha})=0\)、すなわち \(2\cos{n\alpha}=0\) を得るため、この \(\alpha\)  は求めることができます。

(3) は (2) ができた人へのご祝儀問題です。

本問の種明かし的なものについては解答後の【総括】をご覧ください。

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