問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)
今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。
古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。
細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。
一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。
シリーズ一覧
フィボナッチ数列とリュカ数列 第1講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第1講はフィボナッ ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第2講は リュカ数 ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】
例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 関連問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っ ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】
例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第5講【カッシーニ・シムソンの定理】【1985年度 広島大学ほか】
例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...
フィボナッチ数列とリュカ数列 第6講【フィボナッチ数列の加法定理】【1986年度 中央大学ほか】
例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第6講では、フィボ ...
問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。 シリーズ一覧 第7講では、シュー ...
第2講は
- リュカ数列の一般項
- 隣接2項が互いに素であること
- 隣接2項の比の極限
について扱います。
第1講で扱ったフィボナッチ数列と同様の性質が成り立っていることを確認していきましょう。
(以下ネタバレ注意)
+ クリック(タップ)して続きを読む リュカ数列 で与えられる数列をリュカ数列と言い、この数列に現れる数をリュカ数と言います。 フィボナッチ数列との違いは最初の2項で、 という項の生成の要領は同じです。 リュカ数列の一般項は リュカ数列の一般項 という形で与えられます。 本問は \(a_{n}={\alpha}^{n}+{\beta}^{n}\) というように、 一般項 → 漸化式 という流れの設問になっています。 導出過程は解答 PDF をご覧ください。 漸化式 → 一般項 と導出したい場合は、当然隣接3項間漸化式を解くことになります。 フィボナッチ数列、及びリュカ数列について ということが言えます。 証明は漸化式が手元にあれば数学的帰納法が最有力路線です。 \(n=k\) のときの成立から \(n=k+1\) のときの成立を示す過程で、 背理法 を用いて捌いていきます。 帰納法の中で背理法を用いるという独特な流れについては 数学的帰納法と背理法 数学的帰納法と背理法 第1講【互いに素であることの証明】【2002年度 東京大学】 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) このシリーズの一覧はこちら 数学における2大証明法「数学的帰納法」と「背理法」のコラボレーション問題です。 指導者側からすると「ハイハイこれね」と言いたくなるぐらい手垢のついた問題ですが、初めて解いた時の気持ちよさは今でも覚えています。 漸化式に関する証明問題では帰納法を用いるのが常套手段です。 本問では「互いに素」であることを証明するために背理法を用いることになります。 矛盾の仕方が個人的に気持ちいいですね。 ( ... 数学的帰納法と背理法 第2講【限られた素因数しかもたないことの証明】【2007年度 東北大学】 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「数学的帰納法と背理法」シリーズの2弾目です。 このシリーズの一覧はこちら 今回のオチは「共通素因数がこれしかない」ということの証明です。 前回の「互いに素(共通素因数をもたない)」ということと本質的には同じですので、前回の問題ができなかった人はリベンジしてみてください。 解答はコチラ 数学的帰納法と背理法 第3講【仮定の工夫】【2012年度 和歌山県立医科大学】 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「数学的帰納法と背理法」シリーズの3弾目です。 このシリーズの一覧はこちら 基本的なシナリオは前回までとおおよそは同じなのですが ココがポイント 互いに素(最大公約数が1)ということをどう翻訳するか が山場となります。 互いに素ということの翻訳の仕方は様々あるということを、本問を通じて学んでほしいと思います。 解答はコチラ 数学的帰納法と背理法 第4講【隠れた補題に気が付けるか】【2004年度 名古屋大学】 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「数学的帰納法と背理法」シリーズの4弾目です。 このシリーズの一覧はこちら 本問は前回までのシナリオをベースとしながらも、さらに見抜くべきことや示すべきことが多々あります。 「数学的帰納法と背理法3」の記事で、「互いに素であることの翻訳の仕方は色々ある」ということを勉強したと思います。 「2数が互いに素である」ということは「その2数の最大公約数が1」と翻訳することが基本です。 最大公約数を扱うにあたり、大きな武器が ... というシリーズで解説しています。 本問の (3) で扱っているわけですが、詳しい解答は解答 PDF をご覧ください。 \(\alpha=\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2}\) , \(\beta=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) に対して \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle \frac {{\alpha}^{n+1}+{\beta}^{n+1}}{{\alpha}^{n}+{\beta}^{n}}\) となります。 結論的には と、第1講で扱ったフィボナッチ数列の隣接2項の比の極限と同様に 隣接2項の比が黄金数に収束する ということが言えます。リュカ数列とは
リュカ数列の一般項
隣接2項についての性質
隣接2項が互いに素であるという性質について
隣接2項の比の極限