極限

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   見た目がゴツいため、ウワっと思いがちですが、(1) ,  (2) まではやってみると見掛け倒しということが分かると思います。 問題は(3) です。 阪大受験生からすれば、 \(p\) ,  \(q\) を求めること自体はそこまで難しくはないと思われます。 ただ、その導出過程には気を付けたいところで、 \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n}-□n) = △\)  だから  \(p= ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   かわいい顔をしていますが、割と棘のある問題だと思います。 無限級数の問題では、 無限級数の鉄則 部分和をとって、その極限を取る というのが鉄則です。 その鉄則は京大受験生であればクリアーして然るべきでしょう。 そこで、\(\displaystyle \sum_{k=0}^n (\displaystyle \frac{1}{2})^{k}\cos{\displaystyle \frac{k\pi}{6}}\) などと部分和を考えま ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   今回の話題は \(\displaystyle\frac{1}{n}\)乗の対数の極限 です。 昔 \(\displaystyle\frac{1}{3}\) の純情な感情 という曲がありました。 響きが似ていますね。 これが言いたかっただけです。 今回の話題は個人的に壊れるほど愛しているのですが、\(\displaystyle\frac{1}{3}\) も伝わればいいなと思います。 今のくだりが \(\displaystyle\f ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 「漸化式を視覚化して考える問題を作ろう」 というすごくざっくりしたところからスタートし、割とラフに作った問題です。 とは言え、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   円順列を題材として、最後は極限の計算技能まで見る欲張りな問題です。（実践演習としては誉め言葉です。） 円順列の基本は 円順列のポイント 誰か一人の目から見る ということです。 公式 \(n\) 人を円形に並べる方法は \((n-1)!\) 通り がありますが、この「\(-1\)」というのはまさに「誰か一人の目から見て残りの \(n-1\) 人がどうなっているかが問題である」という現れです。 式の形に意味付けができれば、覚える（頭 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   オイラーの無限積やヴィエトの公式などを背景とした問題を集中的に扱って、一度この話題を整理したいと思います。 問題を解けるようにするということはもちろんですが、一つの事実に対して様々なアプローチがあり、それを糧とするような学習をしていただければと思います。   丁寧な誘導がありますから、何をすればよいのか皆目見当もつかない、といったことにはならないとは思います。 難関大学を目指すにあたっては一度は経験しておきたい話題であ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   減衰曲線を扱った定番の問題です。 本問に限らず、同様の趣旨の問題は毎年どこかでは出題されます。 多少の亜種はありますが、シナリオは大きく変わりません。 今回は一番シンプルな  \(y=e^{-x}|\sin{x}| \)  というタイプの減衰曲線をもってきました。 これについては「定着するまできちんと勉強してきたか」ということで差が付くでしょう。 特に理系の現役生の方は数Ⅲの完成度がモノを言います。 数Ⅲについてはやるべきことや ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   シンプルな中に芯がある、京大らしい問題です。 和に関する極限についてインスピレーションするものとしては 和の極限の有力方針 ①：求められない \(\sum_{ \ }^{ \ } \) →  面積評価 ②：区分求積法 などが考えられます。 ① についてですが、面積評価をするにあたって \(y=(-1)^{x} (\displaystyle\frac{x}{2n})^{100}\) のグラフがかけません。 ② についても直接の運用 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   定積分と不等式評価の第５講です。 このシリーズの一覧はこちら 今回はネイピア数 \(e\) の無限級数表示がオチの問題です。 背景には \(e^{x}\) のテイラー展開（マクローリン展開） \(e^{x}=1+\displaystyle\frac{x}{1!}+\displaystyle\frac{x^{2}}{2!}+\displaystyle\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\) があります。 しかし、それを前 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   定積分と不等式評価の第４講です。 今回は メルカトル級数 \(1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots\cdots=\log{2}\) について扱った問題を見てみます。 とは言え、本問は、よく言えば丁寧な、悪く言えば過保護な誘導がついています。 ほとんど言われた通り進めていけば、完答できてしまうレベルだと ...