極限

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３種の数列 \(\{a_{n}\}\) ,  \(\{b_{n}\}\) ,  \(\{c_{n}\}\)  についての連立漸化式の扱いを考えます。 特に今回は対称性のある連立漸化式について見ていきます。 連立漸化式については、テーマ別演習「漸化式基本パターン」 の第８講で扱っていますが、今回は「３種の数列」「対称性」という実戦的な話題にスポットを当て、実践演習という位置づけで扱います。 なお、本当は誘導の設問がついていましたが、今回は誘導が ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ウォリスの公式と呼ばれる有名極限を背景にもつ問題です。 入試において大切な要素や手法を含む問題なので、しっかりとモノにしつつ、問題自体で前面に押していないウォリスの公式の美しさについても軽く触れていく欲張りな構成にしたいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 例題に ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 三角関数による置換を用いた極限に関する問題です。 例題としてもってきた問題は丁寧な誘導がついているため、誘導に従っていけば完答することも難しくはないはずです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(\theta_{n+1}=-\displaystyle \frac{1}{2} \theta_{n}+\displaystyle \frac{\pi}{2}\) という漸化式を解くわけです。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回は \(\tan{ \ }\) の逆関数を扱った問題を扱います。 それなりに手垢の付いている話題なので、ちょこちょこ様々な大学で出題されています。 (以下ネタバレ注意) + クリック（タップ）して続きを読む 今回の \(f(x)\) は \(\displaystyle \int_{0}^{x}\displaystyle \frac{1}{1+t^{2}} dt\) は \(\tan{x}\) の逆関数を表します。 その知識の差が出来不出来 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 通常の空間座標における回転体の体積自体、東大は好んで出題する傾向にありますが、本問は 180°しか回転しない回転体の体積 について扱います。 このような「こうなったらどうする？」という味付けは教育的で、いかにも東大らしい良問だと思います。 とは言え、難易度という点では少しハードかなとは思います。 初見の方はぜひ考えてみてください。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む イメージ図について のようなイメージで ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 座標平面上において折れ線状に動く点の動きを考察する問題です。 「点 \(P\) が \(x=b\) を横切る」ということを式的に論じるにはどうすればよいか について翻訳力が問われるでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む イメージの把握 のように \(y\) の値が整数になるごとに傾きが \(s\) 倍になっていきます。 イメージとしては媒質の異なる層を光が屈折していくような感じでしょうか。 確かに ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回のキーワードは「面積評価」です。 特に、和に関する評価、とりわけ ポイント 「計算できない \(\displaystyle \sum_{ \ }^{ \ }\) は面積評価」 というセオリーを心に刻んでほしいと思います。 このシグマは計算できないと判断した場合、等式を諦めて不等式を繋いでいきます。 計算できるかできないかの判断をつけるようにするためには できるものはできる と言える状態を作ることです。 勉強不足によって計算できないのか、人 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 積分漸化式の作成からスタートし、その漸化式によって定まる数列についての様々な極限を考える問題です。 積分漸化式の作成法、極限を求める方針決定、不等式評価のポイント、漸化式との絡み、など様々なポイントが凝縮していますから、非常に勉強になる問題です。 ただし、ポイントが沢山あるがゆえに消化不良も起こしやすいので注意しましょう。 理系の現役生にとっては数Ⅲの完成度が合否に大きく影響します。 このぐらいのレベルになってくると、単元学習の段階で学習する ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 方程式の解に関して、様々な考察をさせる良問です。 この年にこの問題を解いたとき、教材として使いたいなと思った記憶があります。   （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 意外と侮れません。 機械的に差を取って微分して \(\cdots\) という態度では、はじき返されるでしょう。 下手に移項せず、\(x^{2n-1}=\cos{x}\) のまま見て、\(y=x^{2n-1}\) , ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 記号で書かれているために、読み取りづらい部分はありますが、 \(\displaystyle \frac{1}{1}+\displaystyle \frac{1}{2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{1}{10}+\displaystyle \frac{1}{11}+\cdots \cdots \) というように、分母に数字 \(9\) を含む項を除いてできる級数は ...