恒等式

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 第１種スターリング数を扱った問題ですが、多くの受験生にとって初見だと思います。 一般に、数列 \(\{a_{n}\}\) に対して \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots\) を数列 \(\{a_{n}\}\) の母関数と言います。 例えば、 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 x+ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。 いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。 問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。 問２は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て \(x^{5}-1 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 類題３はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 高次の多項式に関する余りを求める問題で、頻出のトピックスです。 例題からスタートし、徐々に難易度が上がっていきます。 最後の類題３については、難易度は高めです。 この類の問題に一度でも経験があると舐める人もいそうですが、逆にそういう人の足を掬うよう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 訊き方をもう少しマイルドにすれば手が付く受験生も多少増えるとは思いますが、敷居の高い訊き方をしているので、(1) から怯んでしまった受験生も多かったと思います。 (1) は要するに \(x^{n}\) をうまく式変形して \((x-\alpha)(x-\beta)^{2}Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C\) という形にしてみてね。 という問いかけなのですが、「存在することを示せ」と言われ、何をすれ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整式の割り算をベースにした問題で、最後は３次方程式の実数解の個数に帰着します。 ２，３年ほど前の凶悪なセットをガンガン出題していた頃からすると拍子抜けしてしまうレベルで、実際に割り算をし、余りを導出して手なりに状況を翻訳していけば、特別なことをせずとも解決できる問題です。 あまりに捻りがないため、逆に勘繰ってしまいますが、凝ったことをやろうとして時間をかけるよりも愚直に進めた方が得策です。 (1) が (2) のどこかで効いてくるのかと身構え ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 数学では珍しい一問一答的な問題です。 ただ、その中でも 特徴的な形を見逃さない 特徴を抽出する という力を養ううえでいい訓練になると思います。 特に最後の \(f(2x)=f(x)\) を満たす \(f(x)\) については、人によっては苦戦するでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について \(f(-x)=-f(x)\) は奇関数がもつ特徴的な性質です。 (というより、この特徴をもつ関 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２乗した関数と、合成関数が恒等式となるような整式 \(f(x)\) を求めるという問題で、 この関係式を満たす \(f(x)\) なぁ～んだ？ という「関数方程式」です。 愚直な方法で処理することも可能ですし、計算をほとんどすることなく捌くこともできます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 方針１：恒等式の処理 \(f(x)\) が整式であるということが分かっているならば、まずは 何次式なのか というこ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 円に沿って動く接線の通過領域について考えるという問題です。 \(t\) の値によらず円に接しているという、強力な事実が先に与えられているため、(2) の通過領域については (1) が求まればなんとかなりそうです。 範囲付きの処理となるため、そのあたりがどこまで処理量に響いてくるかが問題かなというのが第一印象でしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 様々な解法が考えられます。 路線１ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 対称軸を２本もつグラフについて考察させる問題です。 このような論証に慣れていない受験生も多いことでしょう。 感覚的には「そりゃそうだよな」と思える部分もあります。 主張が割と本格的なものであり、難問の匂いが漂います。 結果論から申し上げれば、解答を聞くと特別なことは特に何もしていないと感じると思います。 人によっては「難問？」と思う人がいても不思議ではありません。 ただ、寂しいかな現実的にはアタフタして終わってしまう人の方が多数でしょう。 差 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は微分法に関する接線の問題です。 接線についての構図を把握し、その構図の違いによるそれぞれの翻訳の仕方を学習します。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 接線の ...