幾何

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標に関する問題で、ベクトル特有の機械的処理要素もありつつ、図形的な考察力も要する良問です。 (1) ,  (2) までは東大受験生であれば確保したいレベルで、(3) は差がつくでしょう。 一気に処理しようとせず、一つずつ丁寧に状況を整理していくと、全体像がつかめてきます。 全体像がつかめればこちらのもので、やるべきことや目の付け所が浮かんできやすくなります。 図形的な考察要素を好む東大らしい一問でしょう。 今年のセットの中では他の問題に ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 見た目はベクトルの問題ですが、様々な解法が考えられます。 そのままベクトルで捌くのもいいですし、少し凝った解法で捌いてもよいでしょう。 正攻法に攻めても問題なく捌けるという点は試験場ではありがたいですね。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 路線１：ベクトル 見た目通りベクトルの問題として捌いていくことを考えてみます。 まず、３点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。 今回は幾何の問題です。 重心や外心、内心などは幾何的性質も豊富ですが、垂心についての幾何的性質については中々スポットが当たらないので、これを機に考えてみてほしいと思います。 難易度は冷静な状態であればやや易でしょうが、試 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 訊かれていること自体はそこまで複雑なものではありませんが、頭に血が昇りやすい問題です。 何のプランもなく気の向くままに解き進めていくと、中々うまくいかない歯がゆさを感じると思います。 手元にある条件と、辿り着くべき目的をしっかりと認識し、その間をどのように埋めていくかということを一個ずつ丁寧に詰めていく力が必要です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 手元にある条件 辺の長さ \(a\) ,  \(b\) ,  \( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 単位円上の４点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\) ,  \(\mathrm{P}\) について \({\mathrm{PA}}^{2}+{\mathrm{PB}}^{2}+{\mathrm{PC}}^{2}\) \({\mathrm{PA}}+{\mathrm{PB}}+{\mathrm{PC}}\) という２乗和、１乗和について扱う問題です。 ２乗和、１乗和によって取りたく ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 鋭角三角形 \(\mathrm{ABC}\) の各頂点から対辺に下ろした垂線の足によってできる三角形の傍心が頂点 \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) ,  \(\mathrm{C}\)  となっているという、分かりやすく面白い主張です。 三角形の五心 重心 外心 内心 垂心 傍心 のうち、傍心は影が薄い存在かもしれませんが、この問題を解いた後だと 傍心、意外とやるじゃん と思えるかもしれません。 この問題の三角形 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線の任意の３接線による三角形の外接円が、必ずその放物線の焦点を通るという美しい性質の証明です。 そそる見た目をしていますが、うまく頭を切り替えないと泥沼に嵌まりそうです。 (1) の設問が絶妙なヒントになっていますが、これをヒントと捉えられるかが問題です。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 放物線の焦点からの垂足曲線を考える問題です。 \(y^{2}=4px\) の両辺を \(x\) で微分する ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 直角三角形の外側に作る二等辺三角形によって正三角形ができるという話題です。 どんな直角三角形に対しても、外側に頂角 \(120^{\circ}\) の二等辺三角形を配置することで正三角形が作れるという事実は面白いですね。 本問は誘導がついていましたが、誘導があると面白みが薄れるため、今回は誘導設問はカットしました。 ノーヒントで取り組んでみてください。 ノーヒントでも無理なく捌ききれるレベルだと思います。 （以下ネタバレ注意）   ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 正十二面体に関する位置ベクトルについての問題です。 必然的に正五角形に関する扱いが求められます。 空間ベクトルの問題においては、正四面体などの簡単な立体は扱ったこともあるでしょうが、正十二面体となるとキッチリと地力の差が出るでしょう。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 正五角形に含まれる黄金三角形の黄金分割によって、正五角形の対角線の長さを求めていきます。 これらの用語が初耳だという方は テーマ別演 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） メネラウスの定理の空間版ともいえる内容の証明を考える問題です。 一応、ベクトルでゴリ押しすることもできますが、そちらについては【復習用問題】の【総括】で扱うことにします。 ここでは平面版のメネラウスの定理の拡張を前面に出した幾何的な路線をメインの路線として考えてみます。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む 平面版のメネラウスの定理の主張 というように、 \(\triangle{\mathrm{ABC}}\) を、直線 ...