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2016年度東京大学理系第１問です。
ネイピア数 \(e\) の定義である
\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (1+\displaystyle \frac{1}{x})^{x} = e\)
という定義をもとにした問題であろうことは分かると思います。
この年あたりから東大の第１問は「きちんと勉強してきましたか？」というメッセージが聞こえてきそうな基本的な問題が続いていました。
とは言え、「重い球」ではあるため、打ち損じてしまう可能性は試験場だとあり得ます。
本問は方針面では迷っていてはいけない問題だと思います。
試験場においては
- これは確保したい問題
- これは時間との相談次第で確保したい問題
- これは優先順位的には後回し
といったような判断を誤らないことが大事でしょう。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して本問について続きを読む 基本的な方針としては差の関数を \(f(x)\) とおき、微分して \(f(x)\) について調べます。 今回は底にも指数にも変数 \(x\) が入っていますから、「対数微分法」が必要となります。 \(f(x)\) に対して \(\log f(x)\) を考えていくわけです。 現役生が「ウッ」となる話題だと思いますので、しっかり確認しておきましょう。 また、もう一つの方針（方針というよりも工夫）ですが、示すべき不等式に自然対数をとって変形していくことで 示すべき不等式を簡単にしてから微分する ということも考えられます。（むしろそちらの方が望ましい） 用意した解答では 【解１】：対数微分法によって進める路線 【解２】：示すべき不等式を簡単にする路線 と２路線載せておきました。 また、総括のあとに、本問の不等式の数値設定について検証してありますので、余裕があればご覧ください。 なお、\(e\) の数値評価については、以下の記事 こちらもCHECK 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 「数値評価」シリーズの第２弾です。 このシリーズの一覧はこちら 前回の第１弾は円周率 \(\pi\) の評価 ... 続きを見る で扱っています。
数値評価 第２講【ネイピア数eの評価】【2010年度 横浜市立大学】
また、比較としてもう１題用意します。
+ クリック（タップ）して類題について続きを読む
