整数系

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 不定方程式を解く際に、特殊解を見出して一般解に繋げる定番の話題ですが、連分数展開から特殊解に迫るという問題です。 特殊解を見出す手法として有名なのはユークリッドの互除法のプロセスに現れる 余りを余りで割り続ける という手法ですが、今回の連分数展開と互除法のプロセスが手を繋いでいるという部分まで含めて見ていきます。 ユークリッドの互除法そのものについては でしっかりと確認しておくとスムーズです。 （以下ネタバレ注意）   + クリック ...

問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 整数問題については 整数問題の有力方針 積の形から約数の拾い上げ 余りで分類 評価する（範囲を絞る） を意識するのが基本です。 その中で、 評価する（範囲を絞る） という項目を学ぶ例題として今回の話題である 「和と積が等しい整数の組」 を考える問題がよく使われます。 よくあるのは次のような「３変数」の場合です。 ３変数の例題 例題：\(xyz=x+y+z\) を満たす自然数 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 桁数、下一桁の値、最高位の値、といった定番の話題ではなく、 こういう問題はどう？ というメッセージ性が強い問題に感じたのは私だけでしょうか。 常用対数からのアプローチではなく、高次計算をどう工夫するかという要素が強い問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 与えられた条件の活用を考える 与えられた \(7^{9}\) や \(7^{10}\) を活用しようと思うと、 \(2014^{10}\) を ...

問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 下二桁の数についてスポットを当てた問題を東大、京大から２題セレクトしました。 扱っている題材は下二桁という点で共通していますが、オチについてはそれぞれ違う味わいの問題です。 味比べするのも一興です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 問題１について 問題１はこちら（再掲）（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） まず、１０進法 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 格子点ならぬ「格子辺」という言葉を定義し、直線や曲線との交点の個数を考察させる問題です。 地道に手を動かしながら要領を掴んでいくタイプの問題であり、記憶や経験に頼る類の問題ではないでしょう。 そういった意味で、実戦的な演習寄りの目的意識で活用してほしい問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 小さい数で実験してみる \((630 \ , \ 5400)\) は数が大きいので、もっと小さい数で要領を掴 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） レピュニット数と呼ばれる、\(1\) が並んだ自然数についての問題です。 通知表では見たくない数です。 本問は \(\overbrace{ 11 \cdots 1 }^{ n個 }=\fbox {n}\) という記号で表現されていたのですが、いちいち \(\fbox{n}\) という見慣れない記号で表現するのがイヤだったのと、\(1\) が並ぶ個数 \(n\) によって定まるという関数的な意味合いを込めて \(f(n)\) と表現させてもらい ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ２つの正整数の最大公約数を求めるときに用いられる「ユークリッドの互除法」と呼ばれるアルゴリズムについて、原理と証明を考えてみます。 古典的な手法による証明だけでなく、ユークリッドの互除法の原理が主張している内容が「当然じゃん」と思えるようなイメージをもつことで身近に感じてもらうとともに、自分の中にしっかりと落とし込むことを目的とします。 ユークリッドの互除法とは 以下 ,  2 つの整数 \(a\) , \(b\) の最大公約数を \(G(a ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 全ての自然数 \(m\) ,  \(n\) に対して \(f(mn)=f(m)f(n)\) という性質（乗法性）を証明するというオチの問題です。 丁寧な誘導があるため、誘導を拾い、活用していく活用力があれば特別な難問というわけではありません。 記憶に頼る要素は少なく、目の前の関数に対応するその場力の問題です。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 本問の進み方 (1) は具体的な数に対して計算しろという実験 ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(a\) , \(b\) , \(c\) を整数として \(ax+by=c\) という形の不定方程式（ディオファントス方程式）の整数解を考えさせる問題は基本的なものから発展的なものまで幅広く問われます。 ※不定方程式とは、方程式の数に対して未知数の方が多い方程式です。 本問は単なる整数解ではなく、非負整数解について考える内容になっています。 手を動かしてみると、何となく答えは予想出来ると思いますが、その予想をどのように記述でまとめるかが腕の ...

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 累乗根に関する無理数性を考える問題です。 特に例題でもってきた京大の問題は 真偽判定まで含めて判断しなければならない というタイプの出題です。 正しいにもかかわらず、反例を探しても見つかりっこありません。 正しくないにもかかわらず、証明しようとしても証明できっこありません。 つまり、判断ミス一つで身動きが取れなくなってしまうわけです。 基本的には疑ってかかるのが基本です。 ただ、正しいものは正しい、と根拠と自信をもって言える必要もあります。 ...