整数系

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\sqrt{n}=*.0***\cdots\) というタイプの数になるような \(n\) について考えよという問題です。 \(\sqrt{2}=1.4142\cdots\) ,  \(\sqrt{3}=1.732\cdots\) と近似値を覚えている範囲は限界があるでしょうから、どこかで論理的に導出する必要が出てきます。 難易度の感じ方に差がある問題だと思います。 この年の名古屋大学の受験生からは本問の出来は微妙だったという声がよく聞こえ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次方程式が整数解をもつための条件を考える問題です。 試験場補正も踏まえると、差が付くレベルだと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1) については問題ないと思います。 微分して \(f'(x)=3x^{2}-6x-4\) ですから \(f'(x)=0\) を考えれば \(x=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{21}}{3}\) を得ます。 (2) について (1) の意味を考え ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 多項式に関する問題で、受験生に解かせてみると四苦八苦する生徒が多い一方で、あっさりと解く生徒もいます。 体感の難易度の温度差は大きい問題だと思います。 （以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む (1)について ここから差がついてしまいかねません。 帰納法路線だと その場合 \(P_{n+1}(x)=xP_{n}(x)+1\) というように、前段仮定を用いるために\(P_{n}(x)\) に関する漸化式を作ります。 問題の主張 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな整数問題で、教訓を多く含む問題です。 場当たり的に解き進めても、腕力がある人はねじ伏せることができるでしょうが、できれば戦略的に解き進めていく態度で解けるようにしたいところです。 （以下ネタバレ注意）   +クリック（タップ）して続きを読む 闇雲に帰納法を用いても失敗する 自然数 \(n\) にまつわる証明問題ということで、数学的帰納法にとびついた人もいると思いますが、闇雲に飛びついてもそれは毒饅頭です。 以下失敗例です。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 与えられた数が全て素数となるかどうかについて考える問題で、初見だと差が付く問題でしょう。 解答だけ聞いてしまうと、あっさりと終わってしまいます。 初見であれば、ある程度は時間をとって考えてみてほしいと思います。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む ホントかよ？ この手の類の問題では 「ホントかよ？」 という気持ちで全て素数となるように「最善を尽くしてみる」ことが大事です。 その過程の実験で、「どう頑張って ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \([\sqrt{n}]\) が絡んだ整数問題であり、解答自体はアッサリと終わります。 自力で解ければ問題はありません。 解けなくて解答を確認したとき 「聞けば分かるけど、どうやってその発想に至った？」 という類の問題です。 こういった類の問題は自学自習する上で生徒泣かせな要素を含んでいます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む 題意をもう少し式寄りの言葉で言うと \([\sqrt{n}]\) が \(n ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(x\) ,  \(y\)  という 2 文字使っていますが、結局は \(x^{2}+ax+b=0\)  と  \(x^{2}+bx+a=0\) がそれぞれ整数解をもつような、２次方程式を考える問題です。 パッと見の直感では \(x^{2}+6x+5=0\)  の解  \(x=-5 \ , \ -1\) \(x^{2}+5x+6=0\)  の解  \(x=-2 \ , \ -3\) が予想されますが、これ以外にもあるかもしれません。 (1) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 典型的な問題ではなく、その場での観察力や、式での翻訳力、見通しをもって解き進める力などの総合的な力が問われます。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) について 実験して要領を掴むための設問です。 \(a_{1}=2\) ,  \(a_{2}=5\) ,  \(a_{3}=10\) ,  \(a_{4}=17\) ,  \(a_{5}=26\) ,  \(\cdots\) \(b_{1}=6\) , ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 今回設定されている \(a_{n}=\displaystyle \frac {{}_{2n}\mathrm{C}_n}{n+1}\)  はカタラン数と呼ばれる有名な形の数であり、場合の数や確率の分野でよく登場する数です。 本問は「カタラン数だから何かあるのか？」と変に身構えてしまいかねませんが、「二項係数についての整数問題」と割り切って考えた方がいいでしょう。 （以下ネタバレ注意）   + クリック（タップ）して続きを読む (1) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   最高次の係数が 1 であるような整数係数 \(n\) 次方程式を \(n\) 次のモニック多項式と呼びます。 入試においては名前まで無理に覚える必要はありませんが、名前がついているものについては 「あ～、モニック方程式の話題ね」 みたいに、シナリオやストーリーを端的にキーワードとして頭に整理しておけるというメリットがあると思います。 モニック方程式は独特な流れとシナリオがあります。 中には知らなきゃ厳しいという内容の式変形を要求 ...