問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
\cos{n\theta} が \cos{\theta} の n 次式で表せるという
チェビシェフの多項式
という有名ネタをベースとした問題です。
阪大受験生であれば、この類の類題は経験したことがあるとは思います。
流れが独特なところもあるため、経験による部分が大きい問題ではあります。
特に最後のオチの (3) については、
整数係数方程式特有の話題
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_{1}x+a_{0}=0 という n 次の整数係数方程式において
この整数係数方程式が有理数解をもつならば x= \displaystyle \frac{a_{0} の約数}{a_{n} の約数} の形に限られ、
とくに a_{n}=1 というモニック方程式においては、有理数解ならば実は整数解である。
という有名事実が自分のものになっているかなども問われます。
本サイトでも
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参考モニック方程式【最高次が１である高次方程式】【2019年度 東京学芸大学ほか】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 最高次の係数が 1 であるような整数係数 n 次方程式を n 次のモニック多項式と呼びます。 入試において ...
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などでとりあげており、チェビシェフの多項式については
テーマ別演習：チェビシェフの多項式
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で扱っています。
このあたりを丁寧に体系化するためには、それなりに時間がかかりますし、手を動かす必要があります。
そこまでやる必要があるのかどうかということはおいておき、難関大受験生はこのあたりの上級テーマをある程度自分のモノにして、数学を得点源にするということはこういうことであると覚悟すべきです。