例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
素数が無限に存在することは紀元前から分かっていたことです。
ユークリッドの有名な数学書である原論での証明が有名で、歴史的内容を含む問題であり、思考力を試すというよりは、教養的側面の強い話題です。
現在、様々な証明法が知れ渡っていますが、ここではユークリッドの考えを基にした背理法による証明と、2006年に発表されたフィリップ・サイダック氏による証明を紹介します。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 以下の証明は厳密にはユークリッドの示した方法とは異なるようですが、骨格は同様です。 証明１ \(n\) を正の整数とし、素数が \(n\) 個しかないと仮定する。 その \(n\) 個の素数を小さい方から \(p_{1}\) , \(p_{2}\) , \(\cdots\) , \(p_{n}\) とする。 このとき \(P=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1\) という数 \(P\) を考える。 \(P\) は \(p_{1}\) , \(p_{2}\) , \(\cdots\) , \(p_{n}\) のどれとも異なる。 素数は \(p_{1}\) , \(p_{2}\) , \(\cdots\) , \(p_{n}\) しかないと仮定していたことから、\(P\) は合成数ということになる。 合成数ということは \(P\) は \(p_{1}\) , \(p_{2}\) , \(\cdots\) , \(p_{n}\) のどれかで割り切れることになる。 しかし、\(P=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1\) という \(P\) の定め方から \(P\) は ということになり、矛盾する。 よって、仮定は誤りで、素数は無数に多く存在する。 2006年にフィリップ・サイダック氏が非常に簡潔な証明を発表しました。 という大学入試でもよく決め手となる基本事項を用いた証明です。 証明２ \(n\) を \(2\) 以上の整数とする。 \(N_{1}=n(n+1)\) と定めると、\(n\) , \(n+1\) は互いに素であるため、 次に \(N_{2}=N_{1}(N_{1}+1)\) と定めると、 \(N_{1}\) , \(N_{1}+1\) は互いに素であるため、 これより \(N_{2}\) は少なくとも 3 種類の素因数 \(p_{1}\) , \(p_{2}\) , \(p_{3}\) をもつ。 以後、同様の操作を繰り返すことにより、任意に多くの素因数をもつ数が得られることになり、素数が無数に存在する。 \(6n-1\) という形の素数が無数に存在するということを示す問題です。 例題の知識的側面を基に、誘導を活用する力も必要です。 類題の解答に誤りがありましたので、修正版に差し替えました。 ご迷惑をおかけし、申し訳ありませんでした。背理法による証明
フィリップ・サイダック氏による証明
類題について
類題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
追記